Un ejemplo es el teorema de compresión donde podemos comprimir una función complicada entre dos funciones más simples y usar resultados en las funciones más simples para probar los límites de la función más complicada. Esto se aplica a todo tipo de matemáticas, incluidas sumas infinitas, incluso para encontrar el área de un círculo.
Vea el método maravillosamente simple de Arquímedes utilizado para encontrar los primeros dígitos de Pi
Por lo general, trato de pensar en las desigualdades física / geométrica / parcial como unir las cosas o como restricciones / límites.
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Es sorprendente lo que podemos hacer cuando combinamos restricciones
El juego de Sudoku es realmente solo un conjunto de restricciones. Cada número debe aparecer en cada fila, columna y cuadrado exactamente una vez, y cada celda debe contener un número. De hecho, podemos establecer un sistema de desigualdades (desigualdades múltiples que deben cumplirse al mismo tiempo) para representar sudoku, y alimentar esto a un solucionador de desigualdades. Ver programación lineal y programación entera y https://pypi.python.org/pypi/PuLP
(por lo tanto, esto es muy útil porque podemos crear las desigualdades que conocemos y dejar que los algoritmos informáticos creados por personas inteligentes encuentren soluciones a las desigualdades, es decir, algunos de estos problemas son más complejos que sudoku y codificar soluciones para ellos es difícil) , pero si podemos alimentar las desigualdades en un programa creado por muchos estudiantes de doctorado (caja negra mágica), entonces puede darnos una respuesta.
En dos dimensiones, las desigualdades se ven como líneas que (si son líneas rectas) definen polígonos convexos. (x> 0, x 0, y <1 sería un cuadrado de 1 × 1, por ejemplo). (así que si estamos pensando en desigualdades en 2D, cualquier punto dentro del polígono satisfaría la desigualdad. Ejemplo podría ser, cuáles son los Pokémon que son fuertes y comunes. Un eje podría ser la fuerza del Pokémon, el otro eje podría ser cuántos Pokémon de ese tipo existen, y el polígono sería la región que está por encima de una cierta fuerza y cierto umbral de conteo de población)
En dimensiones más altas tenemos politopos convexos definidos por hiperplanos, pero pensamos en ellos de la misma manera que lo hacemos con los polígonos. (estos polígonos o politopos son convexos porque las líneas de desigualdad o hiperplanos son rectos (Probablemente hay formas de tratar con regiones cóncavas, pero probablemente sería mucho más complicado))
Si piensa en las dimensiones como el eje de las variables en un gráfico, no estamos restringidos a x e y. Las variables pueden ser cualquier cosa que podamos medir. Y las restricciones pueden ser cualquier forma de heurística. Por ejemplo, estoy horneando un pastel de chocolate con leche, mantequilla y chocolate, pero quiero restringir la cantidad de grasa. Los ingredientes podrían verse como variables (por ejemplo, x, y, x), y la restricción de grasa podría verse como grasa_total = a * x + b * y + c * x <= restricción_grasa_máx. (en este ejemplo, y podría representar las medidas de mantequilla, y 'b' podría representar la cantidad de grasa en cada medida de mantequilla)
Si estuviéramos haciendo hamburguesas, las dimensiones podrían ser los siguientes ingredientes:
pollo, carne de res, lechuga, tomate, sal, pimienta, chile, pan, papa …
Podemos encontrar nuestras hamburguesas en politopos. Cada hiperplano (cara) del politopo restringe una cierta heurística de ingredientes … aunque eso podría ser un poco bocado …
¿Qué son las heurísticas?
Precio, picante, peso, volumen, carbohidratos (¡no puede tener demasiados carbohidratos!), Carnosidad, variedad .
¿Cómo las desigualdades en heurística crean desigualdades en los ingredientes?
– La heurística se puede representar por porciones de ingredientes. Por lo tanto, las restricciones en heurística crearán restricciones en los ingredientes.
Por ejemplo, la porción de cada ingrediente tiene un precio.
Decimos Precio = Porciones de pollo * Precio por porción de pollo + Porciones de carne * Precio por servicio de carne …
Entonces, si queremos nuestra hamburguesa a menos de 10 $, estamos creando un hiperplano que nos restringirá solo a las hamburguesas asequibles.
Picante = Picante de Pimienta * Porciones de Pimienta + Picante de Chile * Porciones de Chile.
Una vez más, podemos crear desigualdades en el picante dependiendo de si queremos leve, medio o caliente.
Es posible que no queramos carne de res y pollo en la misma hamburguesa, podemos decir porciones de carne de res + porciones de pollo <2. (tenga en cuenta que, si quisiéramos la posibilidad de 3 porciones de pollo, entonces necesitamos crear una nueva variable y usar programación entera, que está más allá del alcance de esta respuesta).
Hay paquetes de software en los que podemos enumerar fácilmente nuestras variables (ingredientes) y nuestras ecuaciones (restricciones de hiperplano). El paquete de software determinará la región y le permitirá hacer preguntas sobre la heurística en la región, como “dadas las limitaciones, cuál es la hamburguesa más picante” o “cuál es la hamburguesa más rentable”, etc.
Piense en problemas del mundo real, como la gestión de la cadena de suministro: queremos obtener suministros de proveedores de todo el mundo para diversas fábricas en ciertos momentos, cumpliendo con ciertas demandas, volatilidades, amortiguadores, etc. Los suministros (ingredientes) tienen costos, costos de transporte, etc. crear desigualdades para igualar la demanda, los requisitos, etc. y luego minimizar los costos entre suministros y envíos, etc. Sería muy difícil hacerlo a mano.
La parte difícil es descubrir cómo formular un problema del mundo real con desigualdades. ¿Cuáles son las dimensiones o variables? ¿Cuáles son las desigualdades en las combinaciones de estas variables?