¿Cuál es el verdadero significado de ‘=’ cuando el LHS y el RHS son realmente iguales y cuando son similares pero no iguales?

Answer 1

El concepto puede entenderse en términos de variables , expresiones y valores . Cada uno de estos es un conjunto. Por ejemplo, deje que el conjunto de valores V sea el conjunto de todos los números reales. Las variables son los símbolos usuales x, y, … que no tienen valores universales asociados con ellos pero pueden tomar valores diferentes. Las expresiones son cantidades que se forman por operaciones en valores u otras expresiones más simples. (Puede definir matemáticamente expresiones, pero no entraré en detalles). Entonces, cantidades como 3 + 4, 4- (5/2), [math] cos (x) [/ math] son ​​todas expresiones. Deje que el conjunto de todas las expresiones sea E. Las expresiones se pueden simplificar (evaluar) para obtener valores utilizando reglas de álgebra. Entonces 3 + 4 se evalúa a 7, 4- (5/2) se evalúa a 1.5, [matemática] cos (x) [/ matemática] no se puede simplificar inmediatamente sin conocer [matemática] x [/ matemática].
Los valores también son expresiones, por lo que [math] V \ subseteq E [/ math].

Ahora, el símbolo de igualdad está “sobrecargado” en matemática, lo que significa que se comporta de manera diferente en diferentes contextos.
(1) Asignación :
Contexto: Let [math] x = 3 [/ math], let [math] y = sin (x) [/ math].
Aquí, el lado derecho es una expresión o un valor, y el lado izquierdo es una variable nueva, que hasta ahora no se asignó a ningún valor. Esta expresión asigna valor a esta variable.
(2) Ecuación :
Contexto: [matemáticas] 1 + 2 = 3 [/ matemáticas], [matemáticas] x + 2 = 3 [/ matemáticas].
Aquí, el signo de igualdad implica que cada lado es una expresión que evalúa algún valor y estos valores son iguales . Las expresiones en LHS y RHS podrían ser idénticas, o podrían ser diferentes expresiones que representan el mismo valor.

Answer 2

En matemáticas, hay dos tipos de igualdades: ecuaciones e identidades .

Las ecuaciones son las que te encuentras con más frecuencia. Son expresiones que involucran variables para las cuales intenta encontrar valores que satisfagan la condición específica.

Por ejemplo, [matemáticas] e ^ {i \ theta} = -1 [/ matemáticas] es una ecuación. La variable es [math] \ theta [/ math], y está tratando de encontrar valores de [math] \ theta [/ math] que satisfagan la condición [math] e ^ {i \ theta} = – 1 [/ math ] (Que, si te preguntas, tiene la solución [matemáticas] \ theta = \ pi, 3 \ pi, 5 \ pi, … [/ matemáticas])

Una identidad es una ecuación que es verdadera independientemente del valor puesto en la variable. Se denotan con el símbolo [math] \ equiv [/ math]. P.ej

La ecuación de Euler : [matemáticas] e ^ {i \ theta} \ equiv sin \ theta + i cos \ theta [/ matemáticas]. Esto es cierto si [math] \ theta [/ math] es 0 o [math] \ pi [/ math] o incluso un número complejo.

Teorema de Pitágoras : [matemáticas] sen ^ 2 \ theta + cos ^ 2 \ theta \ equiv 1 [/ matemáticas]. Suficiente dijo 🙂

Para la expresión que diste, no está mal llamarla ecuación o identidad. Es una ecuación sin variable, por lo tanto, cumple trivialmente la definición de una identidad.