¿Es importante recordar la prueba de cada teorema matemático?

Answer 1

No “todos” el teorema. Creo que hay algunos teoremas cuya prueba arroja mucha luz sobre por qué son verdaderos, y en esos casos, el dominio de la prueba, al nivel que uno realmente entiende, es importante. Hay otros teoremas cuyas pruebas son muy cortas y, por lo tanto, no son un problema para dominar.

Sin embargo, existen teoremas cuyas pruebas son muy difíciles, y el valor del resultado puede derivarse incluso sin comprender su prueba. Por ejemplo, el teorema del orden impar en la teoría de grupos dice que cada grupo finito simple no abeliano no puede tener un orden impar. Esto es bastante simple de decir pero su prueba es extremadamente larga. No tiene sentido dominar su prueba a menos que tenga la intención de investigar en esa área en particular. También hay teoremas de complejidad intermedia, cuyas pruebas son buenas para entender, pero que no es tan importante recordar (por ejemplo, cada anillo de división finita es un campo, o los teoremas de ortogonalidad para caracteres irreducibles). En informática, una vez que se ha demostrado que P no es igual a NP, comprender la prueba (probablemente bastante complicada) no será tan importante como saber que P no es igual a NP.

En general, en el caso de que la prueba de un teorema sea demasiado difícil de dominar, intente desarrollar la intuición en torno al teorema de otras maneras. Por ejemplo, intente identificar por qué la afirmación es probablemente cierta. Intente comprender cuáles son los obstáculos para una prueba fácil y (aproximadamente) cómo la prueba real los supera. Considere variaciones de la declaración que son falsas.

Answer 2

Si tiene que “recordar” la prueba, ¡lo está haciendo mal!
La prueba de un teorema matemático es como resolver un problema. Debe saber cuál es su punto de partida (lo que sabe) y qué pretende probar (o averiguar). Resuelva el problema paso a paso trabajando con lo que tiene y lo que puede deducir de él, y debería llegar al resultado.
Un método que puede resultarle útil para comprender los teoremas y las pruebas es:
lee un teorema y su prueba. escriba el teorema por su cuenta, seguido de tratar de resolver a través de la prueba por su cuenta (sin ayuda del libro). Intenta encontrar otro método para llegar a la misma conclusión.