Como jugador de ajedrez y ex aspirante a matemático, me complace ver dos analogías de ajedrez (¿y contando?) Entre las respuestas.
(Por otro lado, diré con cierto grado de tristeza que estas analogías de ajedrez son más adecuadas para los jugadores de antaño, ya que la generación actual de jugadores de ajedrez parece depender mucho más de la memorización del análisis por computadora que sus predecesores. )
En cualquier caso, me preocupa que expresar la forma en que uno entiende las matemáticas en términos de la forma en que uno entiende el ajedrez no ilumina el fenómeno para alguien que no es matemático ni jugador de ajedrez. Así que aquí hay una toma diferente:
Considere un joven observador de televisión promedio. No tengo idea de cómo son los números típicos, pero digamos arbitrariamente que probablemente estén haciendo un seguimiento de 15-20 series a la vez, y tal vez viendo 2-3 películas al mes. Si han estado haciendo esto durante años, tienen un vasto repertorio de TV y películas con los que están familiarizados.
Si uno no ve televisión y películas, se podría considerar una cantidad alucinante de información para realizar un seguimiento. Sin embargo, su adolescente promedio o de 20 años puede resumir el estado actual de cualquier programa de este tipo, o puede resumir (si no en gran parte citar) más que un puñado de películas.
Eso no significa que la persona sea brillante. Lo que les ayuda a realizar estas hazañas es que existe una gran estructura interna de todos estos programas y películas. Uno podría entender que Parks and Recreation es básicamente The Office , con algunas modificaciones. La Lista Negra es The Mentalist , con algunas modificaciones. Dodgeball es Meatballs , con pocas (muy pocas) modificaciones.
No me malinterpreten, las modificaciones son muy importantes y permiten que cualquiera de estos programas o películas se separe del resto de los programas o películas de la misma categoría. Pero uno comienza a entender The Office y Parks and Rec (entre otros) como ejemplos de una estructura abstracta: un falso documental en el lugar de trabajo con acción impulsada principalmente (aunque no exclusivamente) por la interacción de un jefe peculiar con el resto del mundo.
Lo mismo en matemáticas. Hay un programa abstracto subyacente que se lleva a cabo en un montón de áreas diferentes en matemáticas. Los detalles son diferentes en cada área … a veces tan enormemente diferentes que un experto en un área no puede hacer un progreso significativo en otra, sin hacer una reserva seria. Pero aún así, pueden tener una idea de la dirección general.
Por ejemplo, una idea general y de alto nivel en matemáticas es encontrar una buena manera de dividir algo en cosas más simples, estudiar las cosas más simples y estudiar las formas en que las cosas más simples pueden volver a combinarse. Es posible que ya esté familiarizado con un ejemplo: puede tomar un número y dividirlo en números primos (las “cosas más simples”). Es una “buena” forma de dividir el número en cosas más simples, porque esencialmente solo hay una forma de hacerlo. En este caso, la pregunta de re-combinación no es tan interesante … es solo multiplicación.
En ese vago nivel de especificidad, puede hacer lo mismo con otras estructuras algebraicas además de los números simples. Hay estructuras relativamente simples llamadas “grupos”. Si no sabes lo que son, no importa. Mi punto es que cualquier grupo finito puede descomponerse en una colección de grupos “simples”, y esa descomposición es, en cierto sentido, única.
Además, los grupos simples finitos se han clasificado, en el sentido de que sabemos que cualquier grupo simple finito proviene de un pequeño número de familias o es una de las pocas excepciones a esas familias.
En el contexto grupal, la recombinación es mucho más interesante, pero también la entendemos bastante bien.
Este mismo programa (descomposición, clasificación, recombinación) se desarrolla en todas partes. Entonces un matemático no tiene que memorizar un teorema en el vacío. Simplemente puede decir “tal y tal es el teorema de descomposición en este contexto de tal y tal”.