Cómo encontrar estos dos números reales positivos cuyo producto es un máximo

Answer 1

Queremos encontrar el valor máximo de [math] xy [/ math] con [math] x, y \ in \ R [/ math] con la restricción de que [math] x + 2y = 24 [/ math].

Si [matemáticas] x + 2y = 24 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x = 24 – 2y [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] xy = (24 – 2y) y = 24y – 2y ^ 2 [/ matemáticas] .

Llamemos a [math] f: y \ mapsto 24y – 2y ^ 2 [/ math].

Como [math] f [/ math] es una función cuadrática con coeficiente negativo de segundo rango, el valor máximo se alcanza para [math] f ‘(y) = 0 [/ math].

Vamos a resolver [matemáticas] f ‘(y) = 0 [/ matemáticas]:

[matemáticas] f ‘(y) = 24 – 4 años [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(y) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff 24 – 4y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff y = \ frac {24} 4 = 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el valor máximo del producto se alcanza para [math] y = 6 [/ math]; entonces tenemos [matemáticas] x = 24 – 2y = 12 [/ matemáticas] y

[matemáticas] xy = 6 \ veces 12 = 72 [/ matemáticas].

Answer 2

x + 2y = 24

y = (24-x) / 2

Producto = xy = x (24-x) / 2 = (24x-x ^ 2) / 2

dP / dx = (24–2x) / 2

P es máximo / mínimo cuando dP / dx = 0

24–2x = 0

2x = 24

x = 12

y = 6

Answer 3

max ab dado a + 2b = 24

Puedes hacer esto sin cálculo completando el cuadrado.

max [matemáticas] b * (24 -2b) [/ matemáticas]

max [matemáticas] 2 * (12b -b ^ 2) = 2 (36- (b-6) ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces el valor máximo es 72.

O, dado que GM <= AM (media geométrica menor <= media aritmética)

[matemáticas] a * 2b <= 12 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab <= 72 [/ matemáticas]

máximo será 72, ya que se logra la igualdad estricta

Answer 4

llama al primer número xy al segundo y. x + 2y = 24. La resta de ambos lados nos dice que x = 24 -2 y. Para encontrar el máximo, solo encontramos el máximo de y (24–2y). Esto es igual al doble del máximo si y (12-y). El máximo de productos que siguen la estructura general de y (xy) es .25x ^ 2. En este caso eso sería igual a 36. Ahora solo necesitamos duplicarlo y obtenemos 72.