¿Cuáles son algunos de los resultados matemáticos más contraintuitivos?

Answer 1

• Puedes girar una esfera de adentro hacia afuera sin hacer ningún agujero. (La paradoja de Smale)
• Algo puede tener un perímetro infinito y un área de superficie finita (copo de nieve de Koch), un volumen finito y un área de superficie infinita (Cuerno de Gabriel), o incluso un volumen cero y un área de superficie infinita (esponja Menger).
• Una superficie puede tener un solo lado (tira de Möbius y botella Klein)
• Si realiza una caminata aleatoria infinitamente larga en una o dos dimensiones, regresará a su punto de inicio con probabilidad 1. Si realiza una caminata aleatoria en 3 o más dimensiones, la probabilidad de regresar al punto de partida es significativamente menor de 1. Al menos uno de estos resultados es contrario a la intuición, y decidir cuál se deja como ejercicio para el lector. (Paseos aleatorios en dimensiones superiores)
• Finalmente, esto es más poco intuitivo que contraintuitivo, pero siempre he encontrado que la fórmula de Ramanujan para pi es fascinante.
  ¿Cómo diablos alguien descubrió que ambos lados de esa ecuación son iguales?

Answer 2

Tantos resultados que desafían la intuición, tan poco tiempo. Aquí hay algunos.

Hahn-Mazurkiewicz

Definición : Una curva es una imagen continua del intervalo de unidades [0,1].

Ejemplo : un círculo, una hélice, una onda sinusoidal y una línea ondulada son curvas.

Teorema : cualquier subconjunto de espacio compacto, conectado y conectado localmente es una curva.

Ejemplo : una bola sólida, una silla y una esponja llena de agujeros también son curvas.

Robertson-Seymour

Definición : un menor de un gráfico se obtiene al quitar y contraer algunos bordes.

Teorema : si tienes infinitos gráficos, se garantiza que uno de ellos es menor que otro.

Besicovitch / Kakeya Needle Problem

Pregunta : ¿Cuál es el área más pequeña de un estacionamiento en el que puede tener una aguja de longitud 1, girar 180 grados y volver a su posición inicial, apuntando en la otra dirección?

Respuesta : No hay área más pequeña. Hay una región de este tipo en el plano del área 0.01, y hay una con el área 0.00001, y así sucesivamente.

Diferenciabilidad

Hecho : existen funciones que son continuas en todas partes pero no diferenciables en ninguna parte.

Hecho : de hecho, la mayoría de las funciones que son continuas en todas partes no son diferenciables en ninguna parte.

Dato : puede dejar un auto parado durante horas y luego comenzar a moverse al mediodía, pero su velocidad, aceleración, meta-aceleración (la tasa de cambio de la aceleración), meta-meta-aceleración y demás fueron todos a 0 al mediodía. ¿Cómo empezó a moverse? Milagro.

Hecho : si cambia de variables reales a variables complejas, ser diferenciable una vez implica ser diferenciable dos veces, tres veces o tantas veces como desee (de hecho, esto implica aún más: ser analítico).

Desde el departamento “WTF”.

[math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} dx = \ frac {\ pi} {2} [/ math]

[math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} \ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} dx = \ frac {\ pi} {2} [ /mates]

[math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} \ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} \ frac {\ sin (x / 5)} { x / 5} dx = \ frac {\ pi} {2} [/ math]

.

.

.

[math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} \ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} \ frac {\ sin (x / 5)} { x / 5} [/ math]

[math] \ displaystyle \ cdots \ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13} dx = \ frac {\ pi} {2} [/ math]

PERO

[math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} \ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} \ frac {\ sin (x / 5)} { x / 5} [/ math]

[math] \ displaystyle \ cdots \ frac {\ sin (x / 13)} {x / 13} \ frac {\ sin (x / 15)} {x / 15} dx = Q {\ pi} [/ math]

donde [math] Q [/ math] es un número racional, muy cercano a 1/2, pero con un numerador y un denominador con 35 dígitos. (Esta locura está en el capítulo de Borwein y Bailey sobre “Matemáticas experimentales” en el volumen “Matemáticas ilimitadas: 2001 y más allá”).

Answer 3

Me hago eco de la opinión de Alon de que hay demasiados resultados para poner realmente una respuesta de Quora. Sin embargo, intentaré nombrar algunos de mis resultados extraños favoritos. Añadiré un poco más a medida que tenga más tiempo.

• Brownian Motion produce caminos continuos en todas partes, diferenciables en ninguna parte, casi seguramente.

  En otras palabras, obtenemos cosas como estas, casi siempre:
  
  En términos físicos, esto significa que las partículas colocadas en líquidos no tienen una velocidad bien definida.

  Más formalmente, esto se declara como [0]:
  Lemma: Sea [math] W [/ math] la medida de Wiener en [math] C (\ mathbb {R}) [/ math], el conjunto de funciones continuas de valores reales. Entonces:

  [math] W (C (\ mathbb {R})) = 1, W (C ^ {k} (\ mathbb {R})) = 0, \ forall k> 0 [/ math]

  donde [math] C ^ {k} (\ mathbb {R}) [/ math] es el conjunto de funciones cuyas [math] j [/ math] th derivadas son continuas, para todas [math] j

  Uno puede pensar en el movimiento browniano en [math] \ mathbb {R} [/ math] como una máquina que genera una ruta [math] \ gamma: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tal que la varianza de donde [math] \ gamma (t) [/ math] crece linealmente en [math] t [/ math]. Lo que es contraintuitivo como primero (como lo mencionó Alon Amit) es que casi con seguridad produce caminos irregulares que no son suaves. Otro hecho asociado y extraño es que [math] W (H \ “más antiguo (\ alpha)) = 0 [/ math] si [math] \ alpha> 1/2 [/ math] y [math] W (H \” antiguo (\ alpha))> 0 [/ math] si [math] \ alpha <1/2 [/ math] [1]

• La distribución uniforme en la esfera [math] n [/ math] tiende a Brownian Motion

  En otras palabras, si muestro vectores de una esfera realmente de alta dimensión, es casi como si estuviera generando un camino browniano. Tenga en cuenta que esto es distinto de la concentración habitual de los hechos de medida que las personas afirman acerca de las esferas.

  Más formalmente la declaración es la siguiente:
  Teorema (Esfera de Wiener): Sea [math] \ mu_ {S ^ {n}} [/ math] la medida uniforme en la unidad [math] n [/ math] -sphere [math] S ^ n = \ {( x_1, \ ldots, x_ {n + 1}): x_1 ^ 2 + \ cdots + x_ {n + 1} ^ 2 = 1 \} [/ math]. Luego [math] \ mu_ {S ^ {n}} \ rightarrow W_ {t} [/ math] débilmente, donde [math] W_ {t} [/ math] es la medida de Wiener (movimiento browniano) en [math] C ([0,1]) [/ math]. [2]

  De hecho, se podría argumentar que este es un resultado algo intuitivo, porque esto es lo que guió a Wiener a la prueba de la existencia de la medida de Wiener. Este resultado es altamente contradictorio, al menos para mí, porque la distribución uniforme en una esfera es un objeto tan “bonito”. La historia de este resultado es bastante interesante, ya que no se probó completamente hasta 1993 y requirió el uso del análisis no estándar de Robinson. Sin embargo, Poincaré descubrió algo muy similar a este resultado a principios de 1900, a saber, que si uno elige un intervalo [math] (a, b) [/ math], entonces la proyección de la medida uniforme en un [math] n [/ math] -esfera en [math] (a, b) [/ math] en cualquier eje en [math] \ mathbb {R} ^ {n + 1} [/ math] es ‘casi Gaussian’. Es decir, como [math] n \ uparrow \ infty [/ math], esta proyección se vuelve gaussiana.

  La pseudointuición para esto es aproximadamente la siguiente. Supongamos que dibujo un vector (uniformemente) en la esfera [math] n [/ math], [math] \ vec {v} = (v_1, \ ldots, v_ {n + 1}), \ vec {v} \ cdot \ vec {v} = 1 [/ math]. Luego, para cada [math] k \ in \ {0, \ ldots, n + 1 \} [/ math], se define una ‘ruta de puntos’ [math] Q (\ vec {v}, \ frac {k} {n +1}) = \ sum_ {i = 1} ^ {k} v_i [/ ​​math]. Extienda esto a una ruta continua [math] Q (\ vec {v}, t) [/ math] interpolando linealmente entre los puntos [math] n + 2 [/ math]. Una imagen de cómo podría verse esto es:

  
  La afirmación es que la ruta [math] Q (\ vec {v}, t) [/ math] converge en una ruta generada por la medida de Wiener.

• Todos los álgebras de división real son isomorfos para [math] \ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ 2, \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 8 [/ math] . Como tales, las únicas esferas paralelizables son aquellas en dimensiones [math] 1,3 [/ math] y [math] 7 [/ math]

  Este es solo un resultado ridículo porque tomó la teoría topológica K [3] para demostrarlo (de hecho, está algo relacionado con las esferas exóticas de Freedman a las que se refiere el usuario de Quora).

[0] Vea la biblia sobre el tema: Movimiento browniano y cálculo estocástico por Karatzas y Shreve, http://books.google.com/books?id …
[1] Movimiento browniano , Yuval Peres. http://www.stat.berkeley.edu/~pe… . Véase también, http://www.ams.org/notices/19950 …
[2] Papel con todos los detalles históricos y la prueba correcta: http://projecteuclid.org/DPubS?s …
[3] Vector Bundles and K-Theory por Allen Hatcher, página 59. Libro: http://www.math.cornell.edu/~hat…

Answer 4

Aquí hay una inquietante y subestimada: la paradoja de Hausdorff.

Es un precursor de la infame paradoja de Banach-Tarski. Indica que existe un cierto subconjunto contable [math] N [/ math] de la esfera habitual [math] S ^ 2 [/ math], de modo que si desecha ese subconjunto, el resto [math] S ^ 2- N [/ math] se puede dividir en tres subconjuntos congruentes, disjuntos [math] A, B, C [/ math], con [math] B \ cup C [/ math] también congruente con [math] A, B, [/ math] y [math] C [/ math].

Puede tomar algunas lecturas y pensar qué tan malo es hundirse por completo. Recuerde que descartar innumerables puntos de una variedad innumerable, como una esfera, no cambia su medida o cómo se ve. Entonces, efectivamente, esto dice que hay tres subconjuntos de la esfera, todos congruentes y cuya unión es esencialmente la esfera completa (y, por lo tanto, todos tienen área [matemáticas] 1/3 [/ matemáticas] la de la esfera), pero con la propiedad que si considera dos de ellos agrupados a la vez, también tiene un área total [math] 1/3 [/ math] la esfera en lugar de [math] 2/3 [/ math] como se esperaba. Completa el disparate. Demuestra que la aditividad finita de la medida no se puede lograr en subconjuntos arbitrarios de la esfera; los subconjuntos [math] A, B, C [/ math] de hecho no son medibles.

La paradoja de Banach-Tarski lleva las ideas de este resultado a dar a toda la pesadilla del guisante al sol. Creo que la paradoja de Hausdorff es igualmente perturbadora, en un nivel aún más básico.

Answer 5

El juego Hydra!

Imagina que eres Hércules y te dieron la tarea de matar a la Hidra. Aquí hay una posible hidra:

Bien, entonces nuestra hidra es un árbol enraizado. La raíz (negro, en la parte inferior) es el cuerpo, y las hojas (azules) son sus cabezas. Al igual que Hércules, vas a cortar sus cabezas, una a la vez. Pero, al igual que con la mítica Hydra, cada vez que se corta una cabeza, puede crecer un poco más en otros lugares. Aquí está la regla:

Puede cortar una cabeza que está conectada directamente a la raíz. En ese caso, nada vuelve a crecer. En todos los demás casos, crecen nuevas cabezas de la siguiente manera:

• Deje que x sea el vértice donde la cabeza que acaba de cortar estaba unida a la hidra.
• Baje un borde desde x, sea y el nuevo vértice.
• Cultiva dos copias nuevas de todo el subárbol del que acabas de llegar. (Llamaremos a esto la regla de crecimiento ).

Una imagen es mejor que las palabras, así que esto es lo que sucede cuando se corta una cabeza de nuestra hidra. Abajo, la cabeza que decidimos cortar ahora está discontinua, y mostramos los vértices x e y:

Y ahora tomamos el subárbol del que venimos (vértice x y dos hojas) y agregamos dos copias nuevas de ese subárbol en y:

Bien, entonces solo cortamos una cabeza y obtuvimos cuatro cabezas nuevas a cambio. No está bien. Intentemos eso una vez más, esta vez cortando la segunda cabeza desde la parte inferior.

Oh mierda, ahora tenemos 19 cabezas. Parece que esta hidra será bastante difícil de matar. Puedes matar la cabeza en la parte inferior para bajar a 18, pero luego cualquier muerte posterior aumentará el número de cabezas nuevamente.

En este momento, su intuición probablemente le diga que matar una hidra es un trabajo difícil. Claro, se pueden matar algunas pequeñas hidras: si tienes solo un cuerpo y algunas cabezas, cortas las cabezas y eso es todo. Pero si intentas matar cualquier hidra no trivial, después de los primeros cortes, tu situación se verá como en nuestro ejemplo.

No solo tome mi palabra, pruébelo usted mismo. Aquí hay un applet de Java donde puedes jugar el juego hydra: El juego Hydra. Ir a jugar. Reinicia el juego unas cuantas veces, y en cada juego, haz clic unas cuantas veces para ver qué tan rápido crece la hidra. Entonces vuelve.

El applet fue creado por Andrej Bauer. Es gratis y de código abierto, disponible bajo la licencia BSD. Puede descargarlo de su sitio web genial en el juego de Hydra aquí: http://math.andrej.com/2008/02/0 …

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Ahora, no sería demasiado sorprendente si te dijera que siempre puedes ganar el juego de la hidra. En cambio, te diré algo que ciertamente no esperas.

Aquí está el verdadero truco: nunca puedes perder el juego de la hidra. Siempre matarás a la hidra en muchos turnos, sin importar qué tan grande sea la hidra, y en qué orden matas a las cabezas.

Y se pone mejor. Hagamos el juego más difícil. ¿Ves la palabra “dos” en la regla de crecimiento? Vamos a cambiarlo a cuarenta y siete. Incluso con 47 copias nuevas de un subárbol agregado en cada turno, aún no puedes perder el juego.

Ahora cambiemos la regla de crecimiento de la siguiente manera:

• Si esto es el turno N del juego, cultiva N nuevas copias de todo el subárbol del que acabas de llegar.

Es decir, cuanto más juegues, más rápido crecerá la hidra.
Vaya, pero todavía no puedes perder el juego. Independientemente de cómo juegues, la hidra todavía tiene la garantía de morir en muchos pasos.

Aquí está la versión más impresionante de la regla de crecimiento:

• Elija cualquier entero positivo N. Adelante, hágalo tan grande como desee. Incluso puede elegir una N diferente cada vez, y hacer que cada elección sea mayor que la anterior.
  Crece N nuevas copias de todo el subárbol del que acabas de llegar.

¿Adivina qué? Todavía no puedes perder . Cada juego posible todavía tiene que ser finito. No hay manera de hacer una secuencia infinita de movimientos válidos.

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Aquí hay un bosquejo de la prueba: podemos asignar un ordinal a cada hidra posible usando una fórmula recursiva: un solo nodo obtiene el ordinal 0, y un nodo con hijos [math] a_1 [/ math] a [math] a_k [/ math ] (clasificado en orden decreciente de los ordinales asignados) obtiene el ordinal [math] \ omega ^ {\ alpha_1} + \ cdots + \ omega ^ {\ alpha_k} [/ math], donde [math] \ alpha_i [/ ​​math] es los ordinales asignados al árbol arraigado en [math] a_i [/ ​​math]. Ahora se puede mostrar que cada movimiento válido disminuye los ordinales asignados a la hidra. Y como no hay una secuencia infinita decreciente de ordinales, cada juego posible debe ser finito.

Si acabas de perderte y asustarte, aquí hay un poco de intuición detrás de lo que está pasando en la prueba. Básicamente, decimos que cada vez que algo sucede, K se aleja de la raíz, es infinitamente peor que cualquier cosa que esté pasando en el K-1 que se aleja de la raíz. Ahora, cada vez que matas una cabeza, simplificas ligeramente algo que es K se aleja. Y a pesar de que recibes un montón de basura nueva a cambio, toda esa mierda está a solo K-1 a pasos de distancia y, por lo tanto, el resultado es aún más simple de lo que era antes. (Esa es una descripción tan buena como puedo darte en un párrafo).

Y para colmo: ahora puede solicitar una prueba más simple. Usted no obtendrá uno. Probar que el juego de la hidra es finito es difícil. En particular, en 1982, Kirby y París demostraron el siguiente teorema: “Cualquier técnica de prueba que demuestre que el juego de la hidra siempre es finito debe ser lo suficientemente fuerte como para demostrar que la aritmética de Peano es consistente”.

Answer 6

FUENTE : Por qué nuestras redes sociales son mejores que nosotros: la ‘Paradoja de la amistad’

Tus amigos son más populares que tú. También son más felices y más ricos.

Si es social, es probable que sienta o sienta que sus amigos son más populares que usted. El hecho del asunto es que la aritmética básica ha demostrado que esta corazonada es cierta, y se llama la “paradoja de la amistad”. Ahora, un estudio reciente nos ha dado más justificación para tener un complejo de inferioridad al demostrar que nuestros amigos son generalmente mejores que nosotros. .

En 1991, un sociólogo llamado Scott Feld publicó un artículo famoso que descubrió matemáticamente que es más probable que una persona sea amiga de alguien que tenga más amigos que de una persona que tenga menos amigos. En ese momento, las redes sociales no tenían nada que ver con internet. Sin embargo, los bloggers, Facebook y Twitter confirmaron más tarde que esta tendencia se refiere a cualquier red donde algunas personas son más populares que otras.

La idea se basa en un simple pero poco intuitivo procesamiento de números de cómo las personas están conectadas entre sí. La premisa de la paradoja radica en el hecho de que la mayoría de las personas tienen pocos amigos, mientras que una pequeña cantidad de personas tiene muchos amigos. Esta minoría popular es el valor atípico que aumenta el número promedio de amigos que tienen tus amigos y te hace parecer menos una mariposa social.

Debido a que esta paradoja es una regla de oro en una red social, Young-Ho Eom de la Universidad de Toulouse y Hang-Hyun Jo de la Universidad de Aalto en Finlandia querían ver hasta qué punto se aplicaría a otros aspectos dentro de una red comunitaria que no lo son. Tan obvio, como la felicidad y la riqueza. Para evaluar estas características, Eom y Jo analizaron las redes académicas de científicos. Primero verificaron que la paradoja se aplica a este escenario al mostrar que los co-autores de los científicos a menudo tenían más co-autores.

Pero los hallazgos van más allá. Eom y Jo también descubrieron que estos co-autores también tenían más publicaciones y citas, que es el pan y la mantequilla de validación de ser un científico exitoso. Los autores del estudio dijeron que este fenómeno ejemplifica la “paradoja de la amistad generalizada”. Según esta regla, los autores explican en su artículo, que percibes que “tus amigos tienen en promedio características más altas que las que tú tienes”.

En última instancia, el hallazgo arroja luz sobre cómo la percepción de las personas sobre sí mismas y el mundo está determinada por el estado de sus amigos, colegas y compañeros. La paradoja de la amistad generalizada predice que la forma en que nos vemos a nosotros mismos se distorsiona cuando comparamos nuestra popularidad, ingresos, reputación o felicidad con los de nuestros amigos. Esta autopercepción distorsionada ocurre simplemente cuando nos comparamos con los demás, independientemente de si son un amigo “promedio” o un amigo “mejor”. “Esta podría ser la razón por la que los usuarios activos del servicio de redes sociales en línea no están contentos (ya que) es mucho más fácil de comparar con otras personas en las redes sociales en línea”, concluyeron los autores.

Answer 7

En mi opinión: la paradoja de Banach-Tarski: http://en.wikipedia.org/wiki/Ban …

O posiblemente la existencia de espacios R ^ 4 exóticos, un número infinitamente infinito de ellos, incluso, aunque no hay espacios R ^ n exóticos para ningún otro n: http://en.wikipedia.org/wiki/Exo …

Answer 8

Fórmula Integral de Cauchy:

De wiki la fórmula integral de Cauchy.

Supongamos que U es un subconjunto abierto del plano complejo C , f : U → C es una función holomórfica y el disco cerrado D = { z : | z – z 0 | ≤ r } está completamente contenido en U. Dejar
Sé el círculo que forma el límite de D. Entonces para cada una en el interior de D :
donde la integral del contorno se toma en sentido antihorario.

Se pueden derivar varios resultados no intuitivos, tales como
[math] \ int_ {0} ^ {\ inf} sin (x ^ {2}) = \ int_ {0} ^ {\ inf} cos (x ^ {2}) = \ frac {\ sqrt {2 \ pi }} {4} [/ math]

[math] \ int_ {0} ^ {\ inf} \ frac {\ sin x} {x} = \ frac {\ pi} {2}] [/ math]

Los números complejos son muy útiles

Los números complejos son como fantasmas; si asumes que existen, es mucho más fácil explicar algunas cosas muy inusuales que suceden :-). Aunque no es un resultado matemático per se, sin embargo, encuentro los números complejos como uno de los objetos matemáticos más intuitivos. Los números complejos nos han ayudado a comprender varias cosas como la transformada de Fourier, el procesamiento de señales, la teoría de la información, las máquinas eléctricas, las ecuaciones de onda, la mecánica cuántica (incluida la fórmula integral anterior), es decir, casi toda la ciencia moderna. Sin embargo, explicar cualquier cosa usando números complejos es casi tan bueno como decir, aquí hay un fantasma con todas estas propiedades, no puedes verlo, no puedes tocarlo, no tiene una forma o tamaño y sí , causó ese asombroso fenómeno y se fue.

Answer 9

Me gusta la paradoja de Simpson, por su simplicidad.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sim …

Aquí hay un ejemplo: probaremos dos tipos de pan en sándwiches y veremos cuántos clientes regresarán para otro sándwich mañana. Primero, lo intentaremos con hombres:
Trigo: 9/10 clientes (90%) vuelven mañana.
Centeno: 60/100 clientes (60%) regresan mañana.

Entonces podemos decir que los hombres prefieren el trigo.

Ahora lo haremos de nuevo, con mujeres:
Trigo: 30/100 clientes (30%) regresan mañana.
Centeno: 1/10 clientes (10%) regresan mañana.

Así que podemos decir que las mujeres prefieren el trigo.

Echemos un vistazo a los resultados generales sin embargo:
Trigo: 39/110 clientes (35%) regresan mañana.
Centeno: 61/110 clientes (55%) regresan mañana.

El resultado es que los hombres prefieren el trigo. Las mujeres prefieren el trigo. Pero la gente prefiere el centeno.

(Vea la página de Wikipedia para algunos ejemplos reales.)

Answer 10

El problema de Monty Hall. Esta es mi pregunta desconcertante favorita. Debido a cuántas personas son engañadas por las estadísticas estadísticas involucradas.
[la mayoría de esto está copiado del artículo de Wikipedia, ya que no hay necesidad de duplicar su contenido de forma independiente.] http://en.wikipedia.org/wiki/Mon …
Columna “Ask Marilyn” en la revista Parade en 1990 (vos Savant 1990):

Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un auto; Detrás de los demás, cabras. Usted escoge una puerta, dice No. 1 [pero la puerta no está abierta], y el anfitrión, quien sabe qué hay detrás de las puertas, abre otra puerta, diga No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Te conviene cambiar tu elección?

La versión extendida del escenario que incluye supuestos que generalmente se encuentran en el ejemplo anterior pero no se establece explícitamente.

Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de tres puertas [y ganarás lo que está detrás de la puerta elegida]. Detrás de una puerta hay un coche; Detrás de los demás, cabras [premios no deseados]. El auto y las cabras fueron colocados al azar detrás de las puertas antes del show. Las reglas del programa de juegos son las siguientes: Después de haber elegido una puerta, la puerta permanece cerrada por el momento. El anfitrión del programa de juegos, Monty Hall, quien sabe qué hay detrás de las puertas, ahora tiene que abrir una de las dos puertas restantes, y la puerta que abre debe tener una cabra detrás. Si las dos puertas restantes tienen cabras detrás de ellas, elige una [de manera uniforme] al azar. Después de que Monty Hall abra una puerta con una cabra, él le pedirá que decida si desea quedarse con su primera opción o cambiar a la última puerta restante.

Imagina que elegiste la Puerta 1 y el anfitrión abre la Puerta 3, que tiene una cabra. Luego te pregunta “¿Quieres cambiar a la puerta número 2?” ¿Te conviene cambiar tu elección?
—Krauss y Wang 2003: 10

La respuesta parece desafiar toda lógica y suposición razonables, pero siempre le conviene cambiar de puerta.

Fuentes de confusión
Cuando se presentó por primera vez el problema de Monty Hall, una mayoría abrumadora de personas supone que cada puerta tiene las mismas probabilidades y concluye que el cambio no importa (Mueser y Granberg, 1999). De los 228 sujetos en un estudio, solo el 13% optó por cambiar (Granberg y Brown, 1995: 713). En su libro El poder del pensamiento lógico , vos Savant (1996: 15) cita al psicólogo cognitivo Massimo Piattelli-Palmarini diciendo que “… ningún otro rompecabezas estadístico se acerca tanto a engañar a todas las personas todo el tiempo” y “que incluso los físicos del Nobel dan sistemáticamente la respuesta incorrecta, y que ellos insisten en ello, y están listos para reprender por escrito a aquellos que proponen la respuesta correcta “. Curiosamente, las palomas cometen errores y aprenden de los errores, y los experimentos, Herbranson y Schroeder, 2010, muestran que aprenden rápidamente a cambiar siempre, a diferencia de los humanos.

Por qué la solución es cambiar las puertas …
La respuesta de Vos Savant fue que el concursante siempre debería cambiar a la otra puerta. Si inicialmente el auto tiene la misma probabilidad de estar detrás de cada puerta, un jugador que escoge la Puerta 1 y no cambia tiene una probabilidad de 1 en 3 de ganar el carro, mientras que un jugador que escoge la Puerta 1 y hace el cambio tiene una probabilidad de 2 en 3 de ganar. El anfitrión ha eliminado una opción incorrecta de las puertas no elegidas, por lo que los participantes que cambian el doble de sus posibilidades de ganar el auto.

La matemática que soporta los hechos.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mon …
El formato de las matemáticas se volvió funky debido a la implementación de látex de Quora … Haga clic en el enlace para verlo.

Por lo tanto, si el jugador selecciona inicialmente la Puerta 1 y el anfitrión abre la Puerta 3, la probabilidad de ganar al cambiar es

Las simulaciones también confirman que cambiar es lo mejor para usted.
Aquí podemos ver una simulación de 30 instancias distintas y el modelado de victorias desde la primera elección y victorias a través del cambio. En cada uno, el coche se coloca al azar y las puertas se eligen al azar.

Al cambiar, mejora sus probabilidades de ganar de 1 en 3 las condiciones iniciales a 2 en 3, lo que reduce las posibles opciones . Si se queda con su primera opción, ignora la nueva información y no obtiene ningún beneficio del cambio en las circunstancias.

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Comentario de Nick Wright

La mejor manera de entenderlo es:
1. Eliges una de 100 puertas (carro detrás de 1, cabras detrás de 99)
2. El anfitrión elimina otras 98 puertas, dejando solo dos (una con una cabra, una con el auto)
3. Obviamente, cambia las puertas porque es muy poco probable que la puerta que eligió tuviera el auto para comenzar, y por lo tanto es muy probable que el automóvil esté detrás de la última puerta que el anfitrión le dejó.

Resulta que es preferible cambiar a medida que reduce el número de puertas de 100 a 3.

Answer 11

La paradoja de Banach-Tarski o el teorema:

La paradoja de Banach-Tarski es un teorema en la geometría teórica de conjuntos, que establece lo siguiente: Dada una bola sólida en un espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito de subconjuntos desunidos, que luego se puede devolver. juntos de una manera diferente para producir dos copias idénticas de la bola original. De hecho, el proceso de reensamblaje implica solo mover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las piezas en sí mismas no son “sólidos” en el sentido habitual, sino infinitas dispersiones de puntos. La reconstrucción puede funcionar con tan solo cinco piezas.

Una forma más fuerte del teorema implica que, dado cualquiera de los dos objetos sólidos “razonables” (como una bola pequeña y una bola enorme), uno de ellos puede ser reensamblado en el otro. Esto a menudo se afirma de manera informal como “un guisante puede ser cortado y reensamblado en el Sol” y llamado “la paradoja del guisante y el Sol”.

La razón por la que el teorema de Banach-Tarski se denomina paradoja es que contradice la intuición geométrica básica. El “doblar la bola” al dividirla en partes y moverlas por rotaciones y traslaciones, sin estirar, doblar o agregar nuevos puntos, parece imposible, ya que todas estas operaciones deben, intuitivamente hablando, preservar el volumen. La intuición de que tales operaciones conservan volúmenes no es matemáticamente absurda e incluso se incluye en la definición formal de volúmenes. Sin embargo, esto no es aplicable aquí, porque en este caso es imposible definir los volúmenes de los subconjuntos considerados, ya que se eligen con una porosidad tan grande. Volver a montarlos reproduce un volumen, que resulta ser diferente del volumen al principio.

A diferencia de la mayoría de los teoremas en geometría, la prueba de este resultado depende de manera crítica de la elección de los axiomas para la teoría de conjuntos. Se puede probar utilizando el axioma de elección, que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario, y cuya construcción requiere un número incontable de opciones.

Echa un vistazo a este video de Vsauce para una mejor comprensión:

Answer 12

[math] \ bf {\ text {El agujero sinc inesperado}} [/ math]

En 2001, los hermanos Borwein sorprendieron a sus lectores con el truco ilustrado anteriormente. El patrón sugiere que la integral definida de la función sinc (= [math] \ pi [/ math] / 2), no se altera cuando este sinc se multiplica con otros sincs que tienen frecuencias más bajas. Pero, de manera inesperada, muestran que la octava integral es aproximadamente una mil millonésima parte de un porcentaje menor. ¿Cómo es eso posible?

El matemático francés Fourier nos permite mirar entre bastidores. Desde su perspectiva, vemos un pedestal rectangular que se erosiona gradualmente: aunque al principio solo sus esquinas son redondeadas, inevitablemente el centro de la meseta también se verá afectado, disminuyendo así su altura real.

Para entender esto, primero recordemos algo de la teoría de Fourier:

Cinco hechos familiares de Fourier.

1. La transformada de Fourier de un sinc, es una función rectangular (función de pulso de bloque / caja ). Para las integrales de Borwein, es instructivo ver cada función sinc como el espectro de frecuencia de una señal rectangular.
2. El principio de incertidumbre nos dice: “cuanto más amplio es el sinc, más estrecho es el bloque”. Así, la frecuencia decreciente de cada nuevo factor sinc se traduce en un ancho decreciente de su pulso rectangular correspondiente.
3. El teorema de convolución nos dice: una multiplicación de espectros es equivalente a la convolución de dos señales. Por lo tanto, podemos entender la multiplicación de estos sincos, como una convolución de sus pulsos de bloque correspondientes.
4. La Transformada de Fourier inversa nos dice que la integral de un espectro es el valor central en el dominio del tiempo. (Similar a la integral de una señal, es el componente central en el dominio de Frecuencia). Por lo tanto, estas integrales de Borwein son proporcionales al valor central del resultado de convolución de los pulsos de bloque correspondientes.
5. La convolución de dos pulsos de bloque equivalentes (ancho igual), da como resultado una función triangular (una isósceles): las esquinas izquierda y derecha del rectángulo están completamente erosionadas (ver animación a continuación), pero el centro de la meseta se conserva (que por cierto explica por qué [math] \ int_0 ^ {\ infty} sinc (x) ^ 2 dx = \ frac {\ pi} {2} [/ math], enlace Wolfram)

Animación que muestra el resultado triangular de dos funciones rectangulares equivalentes. Fuente: convolución (Wikipedia)

Convolucionando un rectángulo ancho con uno estrecho

Con esta teoría en mente, veamos la segunda integral de Borwein. El producto de los dos primeros sincos, es equivalente a la convolución de un rectángulo que tiene un ancho de unidad (imagen de abajo, gráfico inferior izquierdo) con un kernel ( 1/3) (gráfico superior en el centro) . El resultado es un trapezoide, en el que solo se conservan dos tercios del ancho de la meseta de la unidad inicial y se erosiona un tercio:

Por que Porque en el intervalo [-1/3, 1/3], el núcleo (1/3) estaba completamente integrado dentro del bloque de la unidad. Sin embargo, justo fuera de este dominio, una parte creciente del kernel no se “empareja”, lo que resulta en dos pendientes descendentes que se mueven fuera del centro. Sin embargo, dado que el centro de la meseta inicial no está (aún) afectado, la segunda integral de Borwein es igual a [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math].

El resultado después de algunas circunvoluciones más:

En la tercera integral de Borwein, el trapezoide resultante está convuelto con un núcleo (1/5), que elimina otro 20% del ancho de la meseta original. Por lo tanto, la nueva meseta residual se reduce a 1 – 1/3 – 1/5 = 7/15 parte del ancho inicial de la meseta:

Con cada nueva convolución, la meseta residual se vuelve más y más pequeña:

(Lo que no es tan visible, porque cada convolución también “suaviza” el resultado, exactamente cómo la distribución de probabilidad de un experimento de lanzamiento de moneda se vuelve más suave cuando se lanzan más monedas)

No queda suficiente meseta para coincidir completamente con el núcleo (1/15)

Una vez que el resultado de la (1/11) -convolución se convierta a su vez con el kernel (1/13), la meseta residual es igual a:

[math] 1 – \ frac {1} {3} – \ frac {1} {5} -… – \ frac {1} {13} = \ frac {2021} {45045} <\ frac {1} {15 }[/mates]

que es por primera vez más pequeño que el siguiente núcleo de convolución.

Por lo tanto, para la octava integral de Borwein, la meseta restante es demasiado pequeña para coincidir completamente con el núcleo (1/15) en el centro, lo que resulta en un resultado de integración ligeramente menor para el componente de frecuencia principal. Y como este componente de frecuencia principal es proporcional a esta octava integral:

[math] \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin (x)} {x} \ frac {\ sin (x / 3)} {x / 3} \ cdots \ frac {\ sin (x / 15)} { x / 15} dx [/ math]

ahora vemos por qué está por primera vez ligeramente por debajo de [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math].

1. Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Algunas propiedades notables de las integrales relacionadas y sinc” http://www.thebigquestions.com/b …

PD: con un poco más de investigación encontré que ya se había dado una prueba visual similar en: http://schmid-werren.ch/hanspete …

Answer 13

El teorema de Banach-Tarski (paradoja)!

Este es un teorema altamente contraintuitivo y notable en el área de la geometría teórica de conjuntos.

Declaración: Dada una bola 3-D, existe una descomposición de la bola en un número finito de subconjuntos disjuntos, que luego se pueden volver a juntar de una manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original.

• Aquí las piezas no son “sólidos” en el sentido habitual, pero son puntos de dispersión infinitos.
• El reordenamiento consiste solo en girar y mover las piezas y no cambiar la forma o el tamaño.

La razón por la que el teorema de Banach-Tarski se denomina paradoja es que contradice la intuición geométrica básica. “Duplicar la bola” dividiéndola en partes y moviéndola por rotaciones y traslaciones, sin estirar, doblar o agregar nuevos puntos, parece imposible, ya que todas estas operaciones deben , intuitivamente hablando, preservar el volumen, pero no necesariamente todos hacen eso, y el volumen se duplica al final.

Answer 14

El volumen de una esfera multidimensional continúa aumentando con cada dimensión hasta cierto punto. Después de eso comienza a disminuir.

El volumen de una esfera n-dimensional es 0 como n -> ∞!

Una n-esfera es una esfera en n-dimensiones. Para simplificar, suponga que el radio es 1.

Para 1 esfera que es solo el intervalo [-1,1], la longitud, el área y el volumen son todos iguales. Es 2

Para una esfera o círculo de 2 esferas, el volumen es el mismo que el área, y es π o 3.14.

Para 3 esferas, es 4/3 π o 4.18.

Para 4 esferas, es π² / 2 o 4.93.

Para 5 esferas, es 8/15 π² o 5.26

Para 6 esferas, es [math] π ^ 3 [/ math] / 6 o 5.16

Para 7 esferas, es 16/105 [math] π ^ 3 [/ math] o 4.72

Para 8 esferas, es [math] π ^ 4 [/ math] / 24 o 4.05

Para 9 esferas, es 32/945 [math] π ^ 4 [/ math] 3.29

En términos de números absolutos, el volumen alcanza su punto máximo para una esfera 5 y desciende desde allí.

Para la esfera ∞, es 0.

Ahora puedes preguntar, ¿qué pasa si el radio r es> 1? En ese caso, los números anteriores se multiplicarán por [math] r, r ^ 2, r ^ 3, r ^ 4 [/ math], etc., que son cantidades que aumentan exponencialmente. ¿No compensaría eso la disminución del coeficiente de eficiencia?

Usando funciones gamma, se puede demostrar que los coeficientes de eficiencia disminuyen a una velocidad mayor que las potencias de r aumentarán, por lo que, para una n-esfera de cualquier radio r, su volumen es 0 como n -> ∞.

Eso es bastante contraintuitivo, ¿no lo dirás?

Volumen de una bola n

Answer 15

Nadie ha mencionado el famoso teorema de la imposibilidad de Arrow en la teoría de la elección social, que básicamente afirma (en términos simplistas) que cuando los votantes tienen al menos tres candidatos, deben clasificar según su preferencia, siempre y cuando las reglas de votación obedezcan a algunas simples “democracias”. axiomas ‘, debe haber un individuo, llamado dictador, cuya preferencia reemplaza a todos los demás, independientemente de lo que hagan los otros individuos.
Este es probablemente el resultado más contraintuitivo que he encontrado, y no creo que nadie pueda competir con él 🙂

Por cierto, la contribución de arrow le otorgó el premio Nobel más adelante.

Algunas referencias:
Toda democracia es una dictadura: el teorema de la imposibilidad de Arrow
Combinatoria Extrema: Con Aplicaciones en Informática Capítulo 11
Teorema de la flecha por Terence Tao

Answer 16

Si dibuja un bucle en una hoja de papel de manera que la curva no se cruce en ningún punto, entonces siempre existen cuatro puntos en esta curva que forman los vértices de un rectángulo.

De hecho, se cree (no está completamente probado que)

Si dibuja un bucle en un pedazo de papel de manera que la curva no se cruce en ningún punto, entonces siempre existen cuatro puntos en esta curva que forman los vértices de un cuadrado.

Hay varios otros resultados similares documentados aquí [1]. Los encuentro bastante contraintuitivos.

[1] El problema de los cuadrados inscritos

Answer 17

No puedo creer que nadie haya mencionado el teorema de la incompletitud de Godel. Véalo en inglés simple: “Cualquier teoría efectivamente generada capaz de expresar aritmética elemental no puede ser tanto consistente como completa”. Artículo de Wikipedia @ Teoremas de incompletitud de Gödel.

El primer teorema hundió el logicismo (@Logicism) y generó un serio debate sobre la capacidad de la inteligencia humana para construir mecánicamente (mediante computación u otros medios) un sistema finito de axiomas / reglas que pueden responder / resolver / probar cualquier pregunta, sin embargo, de manera precisa (humana). como inteligencia artificial).

El segundo teorema es aún más inquietante: si una teoría tiene algunas verdades aritméticas básicas y reglas sobre la probabilidad, esa teoría es esencialmente inconsistente si incluye afirmaciones sobre su propia consistencia, a menos que exista otra teoría para probar la consistencia de la teoría anterior. Indefinidamente.

Hay tantas interpretaciones para ambos a lo largo de décadas. Pero mi favorito, basado en la experiencia, es lo cerca que ambos teoremas sugieren la existencia de la conciencia en capas supuesta en los textos antiguos El Gita @ Bhagavad-Gita: Capítulo 07. Nada que ver con la filosofía o la religión.

¿De qué otra manera explicarías la capacidad de recitar y recordar el texto completo de un Upanishad por el resto de tu vida que escuchaste de un mendicante en sueños? (y muchos de ellos, demasiado fuera de tema)

Answer 18

¿Qué tal el conocido problema de cumpleaños?
La pregunta es cuánta gente se requiere en una habitación para que haya un 50% de probabilidades de que dos personas compartan cumpleaños, y la respuesta es 23.
De wikipedia:
Por el principio del casillero, la probabilidad alcanza el 100% cuando el número de personas llega a 367 (ya que hay 366 cumpleaños posibles, incluido el 29 de febrero). Sin embargo, el 99% de probabilidad se alcanza con solo 57 personas y el 50% de probabilidad con 23 personas.

El número de parejas de cumpleaños es de 253 para un grupo de 23 individuos, que es la parte que desafía la intuición.

Aquí está la página wiki: problema de cumpleaños

Answer 19

Siempre he encontrado que las restricciones a las funciones diferenciables en el análisis complejo, en comparación con las propiedades variadas de las funciones diferenciables en el análisis real, son sorprendentes y contraintuitivas. Esto es usar exactamente la misma definición de diferenciable, solo usando un campo diferente.

En particular, tiene que si una función es diferenciable sobre un punto [math] a \ in \ mathbb {C} [/ math], entonces es analítica sobre ese punto. Es decir, si tiene una primera derivada en un punto, entonces todas las derivadas en ese punto existen. Pero hay muchos ejemplos de contadores en [math] \ mathbb {R} [/ math]; por ejemplo, [math] x ^ 2 \ times sgn (x) [/ math]. Ver Analiticidad de funciones holomorfas en wikipedia.

Y de manera similar, existe un teorema de Liouville en el análisis complejo que establece que si una función compleja es diferenciable y limitada en todas partes, entonces debe ser constante. Donde, como en [math] \ mathbb {R} [/ math], tiene [math] sin (x) [/ math] y [math] \ frac {1} {1 + x ^ 2} [/ math].

Prima:
No me resisto a añadir aritmética modular
[math] n ^ {m_1} \ equiv n ^ {m_2} [/ math] modulo p si [math] m_1 \ equiv m_2 [/ math] modulo (p-1) para p prime y [math] n, m_1, m_2 \ in \ mathbb {Z} [/ math]. ¿Por qué (p-1) para esta operación pero p en todos los demás casos?

Answer 20

En ZFC, la hipótesis de continuidad (CH) afirma que no existen tamaños infinitos (cardinalidades) de conjuntos entre el tamaño de los números naturales y la primera cardinalidad mayor que podemos construir y razonar, que es la de los números reales (o de conjuntos de números naturales). Parece cierto, porque no podemos construir tales conjuntos “entre” y las matemáticas convencionales no necesitan que existan.

Por un lado, la hipótesis del continuo no es un “problema no resuelto”. Es formalmente independiente de las matemáticas estándar (ZFC), lo que significa que existe una matemática válida con y sin ella. Esto significa que en lo que las matemáticas invierten su energía es una llamada de juicio basada en lo que es más intuitivo, una representación del mundo matemático. Pero para CH, ninguna posibilidad es intuitiva. No-CH nos ofrece extraños tamaños de conjuntos con los que no podemos razonar ni hacer nada.

Sin embargo, si la hipótesis del continuo es cierta, estás listo para un viaje. Eso significa que tenemos un conjunto A en el R ^ 2 para el cual f (x), mapeando cada x al conjunto de y para el cual (x, y) está en A, es contable para todo x, pero cualquiera de los dos (x, y) o (y, x) está en A para todo x, y.

En otras palabras, esto significa que un conjunto que es extremadamente escaso (solo en muchos puntos en cualquier línea vertical) puede unirse con su reflexión a través de y = x y producir todo el plano. “Intuitivamente” (y la intuición es incorrecta aquí) este conjunto es infinitamente escaso, como un conjunto de “polvo” de cero de medida (de hecho, no tiene una medida bien definida) pero cubre la “mitad” de R ^ 2 .

¿Cómo es eso? Asumamos la hipótesis del continuo y el axioma de elección. Sabemos, en términos ordinales, lo que el conjunto más pequeño e incontable es: es el conjunto de todos los ordinales contables. (Lo que no sabemos, sin CH, es cómo se compara con P (N) o R ). Si CH es verdadero; luego, aunque R es incontable, podemos mapearlo (llamar a este mapeo g ) al conjunto de ordinales contables, que están (por supuesto) totalmente ordenados y para los cuales cada uno tiene un número contable de inferiores. Luego, nuestro conjunto A se define como (x, y) para el cual g (y) < g (x). Eso encaja a la perfección. La construcción del mapeo g requiere un buen ordenamiento de R , pero el Axioma de elección es equivalente al principio de buen ordenamiento.

En resumen, o bien hay infinitos de tamaños que las matemáticas no necesitan de acuerdo con la teoría de conjuntos tradicional, y que no se pueden construir; o hay un conjunto de pares de números reales que cubren simultáneamente casi nada de R ^ 2 y la mitad por completo.