¿Cómo explico los números irracionales a un niño de 10 años?

Answer 1

La esencia de una conversación imaginaria entre un profesor (T) y un estudiante (S).

T: Una revisión rápida de las fracciones. Digamos que tienes una pizza (o un pastel). Si lo corto en el medio, ¿cuántas piezas obtendré?
S: Dos.

T: ¿ Si divido cada pieza de nuevo?
S: Cuatro.

T: Ahora, cada pieza es una cuarta parte de la pizza, a la que llamamos 1/4 de la pizza. Entonces, ¿serán 3 piezas?
S: 3/4 de la pizza.

T: Pero, ¿no son dos piezas la mitad de la pizza?
S: si

T: Eso significa que 2/4 es igual a 1/2, lo que se llama reducir la fracción. Y cualquier tamaño que se pueda escribir en dicha fracción se llama un número racional.
S: ok

T: Supongamos que intentas cortar trozos cuadrados de pizza. ¿Es posible que todos obtengan una pieza igual?
S: No, ya que es un círculo, tiene lados curvos.

T: Entonces, ¿tiene sentido cortar una pizza redonda en pedazos cuadrados?
S: Obviamente no.

T: Por lo tanto, llamamos al tamaño de una pieza cuadrada, un número irracional.
S: Está bien.

T: Un número es racional o irracional. Ok, volvamos a nuestras 4 piezas de pizza. ¿Qué tamaño es 1 pieza?
S: 1/4 de pizza.

T: Si, te doy dos más?
S: 3/4 de la pizza.

T: En cambio, si te diera una pieza cuadrada?
S: No se puede calcular fácilmente.

T: Verás, cuando sumaste dos números racionales, ¿entiendes?
S: Otro número racional.

T: Pero cuando agregaste un número irracional a un racional, ¿tienes?
S: Un número irracional.

Answer 2

“Has aprendido acerca de las fracciones, que son proporciones de números enteros. Como 4 a 1 o 138: 5. Pero algunos números no son una proporción de números enteros.

Por ejemplo, un cuadrado de 10 por 10, la distancia diagonal no es una relación “.

• Cómo entendí por primera vez el teorema de Pitágoras
• Me gusta la historia del pitagórico que probó la irracionalidad de [math] \ sqrt {2} [/ math] (¿o fue [math] \ phi [/ math]?) El asesinato de sus compañeros miembros del culto. Eso añade algún conflicto humano al hecho.
• También me gusta la historia de Hobbes enamorándose de Euclides a la edad de (45?). Lee la Proposición 47 del libro 1 de Euclides (el teorema de Pitágoras), dice “¡Eso no puede ser correcto!”, Pero al rastrear las referencias, encuentra que cada paso deductivo fue correcto y lógico. Al final está convencido y también le hizo cosquillas por la forma en que fue conquistado. Hobbes p 45
• O si estira una cuerda alrededor de una rueda, la longitud de esa cuerda en comparación con el ancho a través de la rueda no será una proporción de números enteros.
• No usaría expansiones decimales para hablar de ello, personalmente. Eso no encaja con las “verdades de nivel superior” y sí con los “errores de nivel superior” en la incomprensión [math] \ mathbb {R} [/ math].
• Si usted, como adulto explicador, desea prepararse para los problemas filosóficos más profundos planteados por la idea de un “continuo”, consulte la línea de Gunky de David Lewis: Gunk (mereología).

Aquí está la prueba estándar de la irracionalidad de √2:

Irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

que es el ejemplo más básico de por qué la hipotenusa podría no ser una proporción de enteros.

De hecho, me saltearía el primer párrafo y utilizaría este tipo de imagen:

Refiriéndose a las áreas p² y q² directamente. Entonces solo usa el argumento par / impar.

Si el niño al que se lo está explicando comienza a quejarse de la prueba por la contradicción, entonces déle una palmadita en la cabeza / galleta / felicitaciones cordiales y cuénteles la historia de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Y Wikipedia tiene una prueba constructiva: raíz cuadrada de 2.

Answer 3

Dato curioso: definitivamente hay casos en los que puede asignar un valor entero a la longitud de una hipotenusa, pero requiere longitudes específicas de los otros dos lados. Estos se llaman “triples pitagóricos”. Aquí hay algunos ejemplos, donde la hipotenusa es siempre el último valor:

3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17

Pero bueno, hablemos de la instancia más común en la que terminas con un número irracional.

Otra palabra para el número entero es “entero”. Estos son números bastante fáciles de visualizar: tienes tres manzanas, cuatro bananas, y así sucesivamente. Hay un número infinito de estos.

También hay un número infinito de números entre los números enteros. Algunos de estos también son bastante fáciles de visualizar: la mitad, un tercio, tres cuartos, y así sucesivamente. Estos números fáciles de visualizar generalmente se representan como parte de un todo: una fracción. Así que una parte en dos es una dividida por dos, que es la mitad.

Hablemos de decimales.

Puedes alternar entre fracciones y decimales. Por ejemplo, vamos con una mitad:

1/2

Dos no entran en uno uniformemente, pero dos entran diez diez veces. Coloca el lugar decimal en el punto correcto y:

1/2 = 0.5

Ahora probemos un tercio.

1/3

Tres no se dividen en uno de manera uniforme, pero tres se divide en diez tres veces con un resto de 1. Si dividimos ese resto por tres, obtendremos tres el resto nuevamente. Esto continuará infinitamente largo. Asi que:

1/3 = 0.333333 …

Cualquier decimal que puedas representar como fracción se detiene (como la mitad) o se repite una secuencia para siempre (como un tercio).

Entonces, ¿qué pasa con un número como este?

0.101001000100001000001…

Ahora, podría pensar que esto se encuentra en la segunda parte de la definición, pero si bien puede predecir cuál será el siguiente dígito, no es una secuencia que se repita. Tampoco está terminando, tampoco. En otras palabras, no podemos escribir este número como una fracción.

Números como este se llaman “irracionales”. Nunca puedes obtener un valor exacto de ellos porque duran para siempre y no se repiten. Esto no significa que no puedan ser útiles, dos de los números más famosos en matemáticas, pi y e, son irracionales y se utilizan en todas partes, pero hay que usar aproximaciones en lugar de valores exactos.

Answer 4

Si su hijo comprende números pares e impares, fracciones comunes y raíces cuadradas, eso es suficiente para introducir el concepto de número irracional y mostrar que algunos números no son racionales.

Un número irracional es un número que no es una fracción común, es decir, no es la proporción de dos números enteros.

El ejemplo que puede dar es la raíz cuadrada de 2. El argumento de que no es la proporción de dos números enteros puede depender de si los números son pares e impares. Es divertido descubrir el argumento tú mismo.

Si desea conectarlo a la geometría, necesitará el teorema de Pitágoras. Luego puedes tomar un triángulo rectángulo isósceles cuyos dos lados son longitud 1, y por ese teorema, su hipotenusa es la raíz cuadrada de 2.

Answer 5

“Las fracciones normales cuando se escriben como decimales eventualmente se repiten [*]. Se llaman números racionales. Los números irracionales son los números decimales que se mantienen para siempre y nunca se repiten”.

Vea esto para la prueba original de que hay números irracionales:

[*] realmente genial para mostrar esto a un niño – lo descubrí cuando tenía 9 años en un tren en China desde Guangzhou a Hangzhou cuando practicaba la división larga

Answer 6

Explique que se trata de anotar los números. Requeriría cierta comprensión de la notación decimal, pero explique que el número 2 también puede escribirse como 2.0 o 2.00 o 2.000, etc. Desde allí puede hablar de números racionales como 1/3 = 0.3333…. . Ambos tienen un número infinito de decimales, pero los dígitos se repiten. Estos son números racionales (una proporción de dos enteros). Explique que todos los números racionales tienen una expansión decimal que se repite.

Luego puedes decir que algunos números tienen decimales que se prolongan para siempre sin repetirse.

Answer 7

Explica los decimales.
Luego explica los patrones (como 1/3 = .33 repitiendo)
Explican la idea de que solo puedes escribir un número (o pensar en uno) que se prolonga para siempre y nunca se repite.

Luego, dependiendo de la edad del niño, puedes decir que es “loco” o irracional (mnemotécnico) y puedes señalar que no se puede describir como una fracción.

Yo sugeriría esperar hasta que ella tenga eso para mencionar que las fracciones a veces se llaman razones, y racional se relaciona con esa palabra.

Answer 8

Pídales que dividan 9 por 11, usando la División Larga (asumiendo que esto todavía se hace en su escuela).

Saldrá como 0.818181 … y continuará para siempre.

En una hoja de cálculo, y tal vez también una calculadora, podría agotarse. Pero eso es porque hay un límite a lo que puede almacenar una computadora. La mía (una versión bastante antigua de Excel) tiene 0.8181818181818181800000.

Lo mismo se aplicaría si tratara de dividir un pastel exactamente en tres partes. 0.333333…

Las calculadoras antiguas devolverían 0.99999 … si dividieras 1 por 3 y luego multiplicaste el resultado por 3. Pero lo lograron

Answer 9

La respuesta de Jay Wacker está bien, pero creo que es más fácil explicar la diferencia entre el infinito enumerable y el infinito no enumerable, y los racionales son denumerables, mientras que los reales no lo son. La demostración estándar está bien para un niño de 10 años.

Answer 10

A menos que tenga diez años de edad muy brillante, no se puede explicar la teoría general de los números reales. Lo que puedes hacer es mostrar que no todas las cantidades son la proporción de enteros. La prueba de que la diagonal de un cuadrado no es racional si el lado del cuadrado es lo suficientemente simple para un niño de una tienda de campaña lo suficientemente brillante. Eso le demostrará que el número racional no puede cubrir todas las cantidades que uno quisiera.