¿Cómo encontrar el logaritmo de un número negativo? ¿Por qué es un número complejo?

Answer 1

Para contestar la segunda parte primero, los logaritmos de números positivos mayores que uno son positivos, menos de uno tienen logaritmos negativos. Por lo tanto, cada número real es el logaritmo de un número positivo, por lo que puede pensar que no tiene “nada más” como logaritmos de números negativos. (Esto es para ayudar a su comprensión, NO es un argumento riguroso.)

DE ACUERDO.
Tomemos un caso simple, -1 .
Ahora notemos que i es la raíz cuadrada de -1 .

Queremos definir logaritmos de números negativos para preservar la propiedad que tenemos para logaritmos de números positivos.
log (xy) = log (x) + log (y).

Configuración de x = y = i :
log (ii) =
log (-1) = 2log (i).

Como vemos inmediatamente que el registro de un número negativo estará relacionado con el registro de un número imaginario en cualquier base, ahora sospechamos que necesitamos números complejos aquí.

El problema es que un logaritmo es lo opuesto a una función exponencial y no sabemos cómo hacerlo con números complejos. Así que lo definimos en términos de su serie de potencias, y sustituimos a i, o lo que sea.

Ahora se puede mostrar de eso que,
[math] e ^ i \ pi = -1 [/ math].

Esto se llama identidad de Euler.

Tomando el registro natural de ambos lados:
[math] ln (e ^ i \ pi) = ln (-1) [/ math].
[math] i \ pi = ln (-1) [/ math].

Entonces [math] i \ pi = ln (-1) [/ math].

Una vez que tenga [math] ln (-1) [/ math], puede calcular el registro natural de cualquier número negativo.

Sea x un número real positivo . El negativo -x , Es el producto de x y -1 .
Ya que estamos preservando la propiedad de un registro de un producto es la suma de los registros.
[math] ln (-x) = i \ pi + ln (x) [/ math].

Nota desagradable: dado que la función exponencial de los números complejos da el mismo resultado para [math] z y z + 2n \ pi [/ math] para cualquier entero n , el logaritmo es en realidad una función multivalor . Ver logaritmo complejo para más detalles.

Answer 2

El logaritmo real no está definido para números reales negativos, y su extensión al plano complejo es complicada, porque para cualquier [math] r [/ math] real no negativo y cualquier [math] \ theta \ in (- \ pi, \ pi] [/ math], un número complejo [math] z = re ^ {i \ theta} = re ^ {i (\ theta + 2k \ pi)} [/ math] para cualquier entero [math] k [/ math Así que [math] \ ln z = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi) [/ math]. Ahora, si tomas [math] r [/ math] como el valor absoluto de lo que quieres toma el logaritmo y [math] \ theta = \ pi [/ math] y [math] k = 0 [/ math] tienes algo que “tipo” funciona para tomar el logaritmo de un número negativo (digo “tipo de “porque elegir la rama principal con [math] k = 0 [/ math] tiene una discontinuidad en [math] \ theta = \ pi [/ math], porque los valores del logaritmo complejo en esa rama al acercarse a los reales negativos de cada dirección difiere en [math] 2 \ pi i [/ math]), excepto que no obtienes números reales de esto. Las respuestas que obtengas serán de la forma [math] \ ln (- | x | ) = \ ln (| x | e ^ {i \ pi}) = \ ln | x | + i \ pi [/ math], tendido en la línea en el plano complejo con una parte imaginaria igual a [math] \ pi [/ math], mientras que [math] \ ln 0 [/ math] aún no está definido (como debería be; si algo corresponde a números complejos con cualquiera o todas las partes imaginarias y una parte real infinita negativa, entonces no puede ser un solo número complejo).

Sospecho que en la figura (b) necesitas pensar más detenidamente sobre las unidades. Idealmente, no deberías tomar el logaritmo de ningún número con unidades o dimensiones; necesita dividir su corriente por algo con las mismas unidades para que obtenga un número adimensional positivo cuyo logaritmo pueda tomar de manera segura.

Observe que en la figura (a) el eje vertical es “Densidad de corriente (mA / cm ^ 2)”, que tiene unidades de miliAmperios por centímetro cuadrado, mientras que en la figura (b) el eje horizontal está etiquetado con “log (Current / A ) “, que entiendo como el logaritmo de (corriente dividida por amperios). Entonces, si multiplicas tu densidad actual por el área de sección de tus cables (o lo que sea que fluya a través de tu corriente) obtienes corriente en miliAmps, como es de esperar. Y luego observe que la escala horizontal de los datos en (b) va de aproximadamente -4.5 a -2.5. Suponiendo que aquí el logaritmo es la base 10, que establece que la escala real es de aproximadamente 0.000032 a 0.0032, lo que se compara bastante bien con los valores absolutos de los datos verticales de (a). En esas cuentas, te sugiero doblemente que busques entender la física y la dimensión / unidades de lo que estás haciendo. El logaritmo de números reales negativos no es necesario aquí.

Answer 3

[math] \ log x = y, x = e ^ {y} [/ math].

Por la identidad de Euler, sabemos [math] -1 = e ^ {i \ pi} [/ math], así que [math] – | x | = | x | e ^ {i \ pi} [/ math], [math] \ log {- | x |} = \ log | x | + i \ pi [/ math].

Nota: [math] \ log {- | x |} = \ log | x | + i (2n + 1) \ pi [/ math], [math] n [/ math] es entero, todos son factibles, pero elegimos [math] n = 0 [/ math].

Answer 4

¿Es esto lo que quieres decir?

Comience con la fórmula de Euler:

[math] e ^ {- i \ pi} = – 1. [/ math]

Reescribir como un logaritmo:

[math] \ log (-1) = i \ pi. [/ math]

Esto significa que para cualquier número real negativo [math] -r [/ math], donde [math] r> 0 [/ math], tenemos

[math] \ log (-r) = \ log (-1 \ times r) [/ math]
[math] = \ log (-1) + \ log (r) = \ log (r) + i \ pi. [/ math]

Answer 5

Esta es una excelente pregunta. En primer lugar: ¿qué es un logaritmo? Tomando la base 10, significa “¿cuántas veces tengo que multiplicar 10 por sí mismo para que sea igual a este número?”. No hay un número real al que puedas subir 10 a su potencia que sea igual a un número negativo. Si la base fuera negativa, esto podría ser posible para algunos valores, pero de lo contrario, tendrá que confiar en la experiencia de estos otros tipos en números complejos: ¡aún no los he hecho (!)

Answer 6

El logaritmo de los números negativos no existe en el espacio real o en el espacio complejo. Muchas manifestaciones lo argumentan. Pero al ampliar el espacio real, podemos definir lg (-1) = a, lg (0) = b y lg (0-) = c. Estos 3 objetos no están en espacios reales o complejos, pero cada uno de ellos obedece a un nuevo tipo de cálculos que no existen en el espacio real. Por ejemplo, a + a = 0 pero a no es igual a cero. etc.

Answer 7

La forma en que lo veo es la siguiente: el signo menos en la corriente no es el signo menos en las matemáticas, simplemente te indica la dirección. Dicho de otra manera, la corriente de -3 es mayor que la corriente de -2, lo que no es cierto en matemáticas. Así que podrías intentar usar [math] -log (-x) [/ math] si todos tus valores actuales son negativos.

Answer 8

Creo que no lo haces. Pero una extensión dice que [math] \ ln \ left (-x \ right) = \ ln x + i \ left (2k + 1 \ right) \ pi [/ math], para x positivo.
Esa extensión tiene un error aunque en el caso de 0 en sí. Y también algunos comportamientos bastante desagradables (ya que [math] e ^ {2i \ pi} = 1 [/ math])

Al ver las ediciones en la descripción, no recomiendo que se use el registro en sí, sino más bien alguna función que se comporte de la misma manera.

Answer 9

Usa números complejos. Por favor vea el logaritmo complejo.