A menudo he escuchado que “¿por qué [inserte una pieza de matemática teórica aparentemente abstracta aquí] útil?” y en algunos casos, he luchado para encontrar una respuesta. Este no es uno de esos casos.
Los métodos de elementos finitos de Galerkin proporcionan una aplicación elegante y sorprendentemente práctica del análisis funcional.
Es posible que tenga en cuenta que muchos problemas físicos se manifiestan como soluciones a ecuaciones diferenciales parciales lineales. La difusión de calor en un líquido en movimiento, las ecuaciones de onda y muchos fenómenos cuánticos obedecen las reglas establecidas en las ecuaciones de la forma.
[math] B (u, v) = f (v) [/ math]
donde u y v no son variables simples, sino funciones , y B es una forma bilineal, usualmente una combinación de varias derivadas de u y v, yf es una función lineal de v.
El hecho de que las funciones formen un espacio vectorial de dimensión infinita coloca este problema directamente en el ámbito del análisis funcional. Y aunque el análisis funcional en bruto puede decirnos mucho acerca de las soluciones de las PDE lineales, estas técnicas son limitadas porque los problemas del mundo real rara vez tienen soluciones de forma cerrada.
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Por lo tanto, nos gustaría resolver nuestros PDE en una computadora, pero hay un problema: las computadoras están inherentemente restringidas a espacios vectoriales de dimensión finita. Si bien esto parece ser un problema, Galerkin sugirió un método hermoso para aproximar la solución.
Su idea es en realidad bastante simple. Tome un conjunto de funciones de dimensión finita, por ejemplo lineal por partes, y encuentre una solución que esté “lo más cerca posible” de la verdadera solución. Esto equivale a proyectar un espacio vectorial de dimensión infinita en un espacio vectorial de dimensión finita, algo que todavía parece imposible.
La realización clave es que, al actuar sobre un espacio vectorial de dimensión finita, los operadores B y f pueden representarse como una matriz y un vector. Entonces, la solución “mejor aproximada” para el PDE simplemente requiere resolver una ecuación matricial, algo que una computadora puede hacer fácilmente usando, por ejemplo, la eliminación gaussiana.
Prólogo . Entonces, ¿por qué fue importante el análisis funcional aquí? Al encuadrar el problema en el lenguaje de las formas bilineales en espacios vectoriales de dimensiones infinitas, Galerkin le dio un significado a la “mejor aproximación”, y un algoritmo rastreable para encontrarlo. Esto se aplica a las matemáticas en su mejor momento.