¿Cuáles son algunos hechos sorprendentes sobre los números primos?

Answer 1

¿Números primos? ¿Qué tal 383 ?

¿Qué tiene de especial este número? Bueno, es un palíndromo.

Pero no es eso …

Es la suma de los tres primeros números primos palindrómicos de 3 dígitos: 101, 131, 151.

101 + 131 + 151 = 383

También…

Es la suma de una prima y una reversión de esa prima, 241.

241 + 142 = 383.

¿No crees que este número es genial?

---

Tomemos uno más pequeño, 11 .

Está bien, esto también es un palíndromo. Pero aquí hay algo realmente interesante sobre 11. Algo que ves en tu vida diaria.

Agarra un libro. Detrás del libro, verás un código de barras. Justo encima del código de barras, verá el ISBN junto con 13 o 10 números impresos en él.

Ahora, vamos a tomar el código de barras de 10 dígitos.

Multiplique el último dígito (el extremo izquierdo) por 10, el siguiente dígito por 9, luego el siguiente por 8 y así sucesivamente hasta que multiplique el número del extremo derecho por 1.

Ahora suma los diez números que tienes.

Aquí, 0x10 + 1 × 9 + 9 × 8 +… + 8 × 1

Obtendrás un múltiplo de 11.

Aquí tengo 231 que es igual a 21 × 11.

Para todos los códigos de barras con 10 dígitos, la suma de los productos de los dígitos y sus valores de posición correspondientes será un múltiplo de 11. Esto se usa para que no haya errores al ingresar el código de barras a una computadora u otro dispositivo.

¿No es genial?

¡Gracias!

Fuente: Numberphile

Editar:

Según lo sugerido por Azim Javed, 383 es ​​un primo de Woodall. Un Woodall es un número de la forma [math] n2 ^ {n} -1 [/ math].

Answer 2

¿Vamos a ver cómo se calculó a mano el número más grande del mundo (2 ^ 127 – 1) ( por humano )?

Esto se hizo usando la prueba de Lucas-Lehmer.

La prueba de Lucas-Lehmer funciona de la siguiente manera.

Sea M = 2 ^ p – 1 el número de Mersenne para probar con p un primo impar.

Una secuencia de Lucas-Lehmer: a (0) = 4; para n> 0, a (n) = a (n-1) ^ 2 – 2.

4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994,…

Supongamos que queremos averiguar si M = 2 ^ 5–1 o 31 es primo o no

• Resta uno de la p. En este caso p = 5, entonces p-1 = 4
• Toma el cuarto número en la secuencia de Lucas-Lehmer. Que es 37634
• Compruebe si este número es múltiplo de M (que es 31 en este caso). ¡Lo es! (1214 × 31 = 37634).
• Así que 31 o M es definitivamente un primo.

Édouard Lucas utilizó una prueba similar para demostrar que 2 ^ 127 – 1 es un número primo, pero en lugar de la secuencia de Lucas-Lehmer y la prueba de Lucas-Lehmer, usó la secuencia y la prueba de Lucas.

Donde la secuencia de Lucas y la prueba de Lucas solo indican si un número dado es “puede” ser primo o no primo. Más tarde, la secuencia de Lucas fue modificada por Lehmer para probar que el número anterior es definitivamente un número primo.

Lucas comenzó esta prueba a la edad de 15 años y le tomó 19 años para llegar a este número.

Dato agregado: ¿Cómo se ve el principal más grande del mundo (encontrado hasta ahora)?

2 ^ (2 ^ 74207281 – 1) -1

Se parece a esto :

¡¡¡Seguir aprendiendo!!!

Fuente: Prueba de Lucas-Lehmer.

Vídeo

Answer 3

Los números primos tienen la forma de (6n ± 1). Excepto el número dos y otros tres, todos los números primos siguen este patrón 6n ± 1.
Por ejemplo:
5 = 6-1,
7 = 6 + 1,
11 = 2 * 6 -1
13 = 2 * 6 +1

EDITAR 1 : agregar alguna explicación / aclaración: no todos los números de la forma (6n ± 1) son primos, pero todos los números primos mayores que 3 son de la forma (6n ± 1)
EDIT 2 : gracias a Sahaj Ramachandran por modificar ‘+ -‘ a ± 🙂

Answer 4

El número primo 73.939.133 tiene una propiedad peculiar.

Si seguimos eliminando un dígito del extremo derecho del número, el número resultante también es primo.

73939133 es primo.

7393913 también es primo.

739391 es primo también.

73939 también es primo.

7393 es primo.

739 es primo también.

El 73 es obviamente un primo.

Y 7 también es un primo.

¡¡Interesante!!

Answer 5

(una lista tremendamente parcial y sesgada):

1. Hay infinitos muchos de ellos.
2. Cada número natural mayor que 1 puede escribirse únicamente como un producto de números primos (“únicamente” hasta reordenamientos).
3. El módulo aritmético a primo define un campo (finito). De hecho, todos los campos finitos tienen un tamaño que es primo o una potencia de un primo.
4. Hay raíces primitivas de módulo en cualquier primo.
5. Los teoremas de Sylow.
6. Los números de primos menores que x son aproximadamente x / ln (x).
7. Hay infinitos números primos en cualquier progresión aritmética cuyo salto es relativamente primo en su punto de partida.
8. A menudo hay más números primos menores que N que dejan un resto de 3 cuando se dividen por 4 que números primos que dejan un resto de 1 cuando se dividen por 4, pero esto es falso para infinitamente muchos N (También es cierto para infinitos muchos N, conjeturadamente mucho más a menudo).

Referencias:

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Euc …
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Fun …
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Fin …
4. http://en.wikipedia.org/wiki/Pri …
5. http://en.wikipedia.org/wiki/Syl …
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Pri …
7. http://en.wikipedia.org/wiki/Dir …
8. http://www.dms.umontreal.ca/~and…

Answer 6

[math] \ sum_ {p \ text {prime}} \ frac {1} {p} = \ infty [/ math]

O, en palabras: hay muchos números primos 🙂

Para explicar de manera menos flexible: si toma números primos en una secuencia, diga

[math] 2,3,5,7, \ ldots [/ math]

y sumar sus recíprocos ..

[math] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} + \ ldots [/ math]

luego puede hacer que este número sea tan grande como desee, siempre y cuando ponga suficientes números primos. No es el hecho más profundo sobre los números primos, pero es uno de mis favoritos.

Answer 7

Este es tan simple y elegante como puede ser.

Así que aquí va,

Si [math] n> 1 [/ math] , hay al menos una prima tal que [math] n

En pocas palabras, no importa cuán lejos se encuentre la línea numérica, entre cualquier número y su doble, habrá al menos un número primo. Siempre.

Hermoso, ¿no es así?

Fue postulado por Joseph Bertrand. ¡Y es la primera prueba “elemental” que dio nada menos que el gran matemático indio Ramanujan!

Answer 8

Encontrarás esto interesante:
37 es el número primo número 12 y su inverso, es decir, 73 es el número primo número 21, que es el reverso de 12. ( Edición 3: un número así se llama Emirp)
Edición 1: según lo sugerido por Divyesh Mehta en los comentarios, sus formas binarias también son bastante similares. 100101 (37) y 1001001 (73) y 1001001 es un palíndromo.
Edición 2: Esto se mostró en S04E10 de The Big Bang Theory.
Leonard: “73 es el Chuck Norris de los números”. Gracias Usuario-12278644005893894510!
Puedes ver el clip aquí:

Answer 9

El año actual 2017 es mucho más que cualquier otro número primo.

• 2017π (redondea al entero más cercano) es un número primo.
• 2017e (redondea al entero más cercano) es un número primo.
• La suma de todos los números primos impares hasta 2017 es un número primo, es decir, 3 + 5 + 7 + 11 +… + 2017 es un número primo.
• La suma del cubo de separación de números primos hasta 2017 es un número primo. Es decir (3-2) ^ 3 + (5-3) ^ 3 + (7-5) ^ 3 + (11-7) ^ 3 +… + (2017-2011) ^ 3 es un número primo.
• El número primo antes de 2017 es 2017+ (2-0-1-7), lo que lo convierte en un primo sexy, y el principal después de 2017 es 2017+ (2 + 0 + 1 + 7). 2017 en sí es, por supuesto, igual a 2017+ (2 0 1 * 7).
• Inserte 7 en cualquiera de los dos dígitos de 2017, sigue siendo un número primo, es decir, 27017, 20717, 20177 son números primos. Además, 20177 es también un número primo.
• Dado que todos los dígitos de 2017 son menores que 8, puede verse como un octal. 2017 sigue siendo un número primo como octal.
• 2017 se puede escribir como la suma de tres cubos de números primos, i, e, p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3 para algunos números primos p, q, r. 2017 se puede escribir como una suma de cubos de cinco enteros distintos.
• 2017 se puede escribir como x ^ 2 + y ^ 2, x ^ 2 + 2y ^ 2, x ^ 2 + 3y ^ 2, x ^ 2 + 4y ^ 2 x ^ 2 + 6y ^ 2, x ^ 2 + 7y ^ 2, x ^ 2 + 8y ^ 2, x ^ 2 + 9y ^ 2 (para enteros positivos x, y).
• 20170123456789 también es un primo.
• El número primo 2017 es 17539 y 201717539 también es un número primo. Sea p = 2017, entonces ambos (p + 1) / 2 y (p + 2) / 3 son números primos.
• Los primeros diez dígitos de la expansión decimal de la raíz cúbica de 2017 contienen todos los dígitos diferentes 0 ~ 9. 2017 es el que menos entero tiene esta propiedad.
• 2017 = 2 ^ 11 – 11th prime.

Answer 10

• 1000000000000066600000000000001 es el número primo más grande que es palíndromo. También se le conoce como Belphegor’s Prime.
• ¡El mayor número primo que se haya registrado hasta la fecha es 2 ^ (57,885,161) – 1 que tiene 17,425,170 dígitos! Esto está en la categoría de números primos de Mersenne. ¡Esta imagen podrá darte una estimación del tamaño del número! Este libro tiene un solo número escrito. No hay puntos por adivinar cuál es ese número.

• El mayor número primo conocido truncable correcto es 73939133 . El hecho interesante acerca de tales números es que:
  73939133 es primo.
  7393913 es primo.
  739391 es primo.
  73939 es primo.
  7393 es primo.
  739 es primo.
  73 es primo.
  7 es primo.
  Espero que tengas el patrón.
• No solo hay un número infinito de números primos, sino también un número infinito de pares primos gemelos . Se dice que un par primo gemelo es el par de p y p + 2, de modo que tanto p como p + 2 son primos. Por ejemplo, 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc.

Answer 11

1. El mayor número primo conocido se encuentra en la categoría de prima de Mersenne, que es
2 ^ 57,885,161 – 1
Tiene 17.425.170 dígitos.

---

2. La aleatoriedad de los números primos hace que el patrón encontrado en las “espirales Ulam” sea muy extraño.
En 1963, el matemático Stanislaw Ulam notó un patrón extraño al garabatear en su cuaderno durante una presentación: cuando los números enteros se escriben en una espiral, los números primos siempre parecen caer en líneas diagonales. Esto en sí mismo no fue tan sorprendente, porque todos los números primos excepto el número 2 son impares, y las líneas diagonales en espirales enteros son alternativamente impares y pares. Mucho más sorprendente fue la tendencia de los números primos a situarse en algunas diagonales más que en otras, y esto sucede independientemente de que comience con 1 en el medio o con cualquier otro número.
Incluso cuando se aleja a una escala mucho mayor, como en la gráfica de cientos de números a continuación, puede ver líneas diagonales claras de números primos (puntos negros), con algunas líneas más fuertes que otras. Hay conjeturas matemáticas de por qué surge este patrón primordial, pero nada ha sido probado.

---

3.
Aquí hay algunos números primos asombrosos, estos números primos fueron probados por el siglo XVIII.

31
331
3331
33331
333331
3333331
33333331

El siguiente número 333333331 no es un número primo. Mientras que se multiplica por 17 x 19607843 = 333333331.

---

4. Un número primo extraño – 73,939,133

El número primo 73,939,133 tiene una propiedad muy extraña.

Si continúa eliminando un dígito del extremo derecho del número, cada uno de los números restantes también es primo.
Es el mayor número conocido con esta propiedad.

¡Eche un vistazo: 73,939,133 y 73,939,13 y 73,939,1 y 73,939 y 7,393 y 739 y 73 y 7 son todos primos!

---

5. pi (31) dígitos es primo.

---

6. ¿Un número primo ilegal ?
Lo que la gente suele olvidar es que un programa (cualquier archivo en realidad) es una cadena de bits (dígitos binarios), por lo que cada programa es un número. Algunos de estos son primos. Phil Carmody encontró este en marzo de 2001.

4 85650 78965 73978 29309 84189 46942 86137 70744 de la carga de la carga. 84655 71008 41190 86259 71694 79707 00486 09999 7999 7999 7999 399 399 399 3999 3999 3999 3999 3999 3999 3999 3999 3999 399 97111 97712 76941 20795 86244 05471 61321 00500 64598 909 7887 24832 24934 77176 02984 12552 44647 44505 58346 28144 88335 63190 27253 19590 43928 38737 64073 91689 12579 24055 01 562 08897 87163 37599 91078 87084 90815 48097519 909 15 Estanamiento de la mancha de gimnasia. 95665 84366 20008 00476 77896 79843 82090 79761 5169 51601. 71304 04321 18261 01035 91186 47666 29638 58495 08744 84973 73476 86142 08805 29443.
Esta fue la primera prima ilegal conocida. Cuando se escribe en la base 16 (hexadecimal), este primer forma un archivo gzip del código fuente C original (sin tablas) que descifra el esquema de encriptación de películas DVD (DeCSS). Vea la Galería de Descramblers CSS (y su Ala de Esteganografía) para más información. Fue ilegal distribuir este código fuente en los Estados Unidos, por lo que seguramente este número (encontrado por Phil Carmody) también fue ilegal.

Algunos videos sorprendentes para saber más sobre los números primos de un canal de YouTube llamado Numberphile:

Fuentes:
Números primos increíbles
Un número primo extraño – 73,939,133
5 datos de matemáticas en serio alucinantes
Prime Curios !: 31
48565… 29443 (1401 dígitos)
Prime de Mersenne

Answer 12

Los números primos son para las matemáticas lo que los átomos son para la física. Mientras que los números compuestos son el equivalente de las moléculas, están formados por un conjunto de números primos, de la misma manera que las moléculas están formadas por átomos. Y algunas de estas moléculas pueden contener grupos de átomos con propiedades características.

Así que ahora no debería sorprender que los números primos se puedan organizar en una forma de onda periódica, de manera similar a la tabla periódica de elementos.

Esencialmente, los números primos son elementos matemáticos .

Answer 13

Una emirp es un número primo cuyos dígitos se pueden invertir para hacer un número primo diferente. 13, 17, 37, 79 y 107 son todos ejemplos de emirps. Así son 31, 71, 73, 97 y 701.

Fuente – Emirp

Answer 14

Puedes determinar si un número es primo en el tiempo polinomial.

Explicación: la forma de “fuerza bruta” de determinar si un número es primo es simplemente verificando cada número más pequeño para ver si tiene un divisor adecuado. Si el número es n, hacer esto requeriría un tiempo aproximadamente lineal o tiempo O (n). Puede mejorar esto solo marcando números hasta sqrt (n), ya que si n tiene un divisor d que es más grande que sqrt (n), entonces n / d también divide n y es más pequeño que sqrt (n). Esto hace que el algoritmo O (sqrt (n)).

Sin embargo, generalmente los algoritmos no se consideran “eficientes” a menos que se ejecuten en un tiempo que sea polinomial en el tamaño de entrada. Podría preguntarse, “¿no es n o sqrt (n) polinomio en n?” Bueno, el tamaño de entrada de n es en realidad log (n), ya que esa es la cantidad de bits que necesita especificar n. Por ejemplo, si n = 12, en realidad puede escribirlo en binario como 1100, por lo que el tamaño de entrada es en realidad 4. No fue hasta el año 2002 que unos pocos estudiantes universitarios en India que trabajaban con un profesor crearon un polinomio Algoritmo de tiempo para determinar primalidad.

Ser capaz de comprobar la primalidad rápidamente es útil. La forma en que funciona el cifrado RSA es que la generación de números primos es rápida (tiempo polinomial), mientras que los algoritmos actuales para factorizar productos de primos grandes en sus primos constituyentes son lentos (tiempo exponencial).

Answer 15

Si elige aleatoriamente un número con n dígitos, la probabilidad de que sea primo es inversamente proporcional a n
Esto también se llama teorema del número primo.

Los residuos módulo a número primo forman un campo finito
Esto significa que usted define suma, resta, multiplicación, así como dvision (por elemento distinto de cero) en el conjunto finito {0, 1, 2, …, p-1} de tal manera que el resultado de cada operación sea contenido dentro del campo. Los únicos conjuntos finitos en los que puede hacerlo deben tener p ^ n elementos, para algunos prime p, y entero n. Por ejemplo, el campo finito con 2 ^ 2 elementos se puede definir mediante las tablas de suma y multiplicación:

Las operaciones no son arbitrarias, pero están determinadas únicamente para satisfacer las relaciones:

x + 0 = x
x + y = y + x
x * y = y * x
(x + y) z = xz + yz
etc.

Este solo hecho resulta en muchos usos interesantes de los números primos. Por ejemplo, cada vez que un lector de códigos de barras escanea un código, utiliza códigos Reed-Soloman para realizar la corrección de errores que se basan en campos finitos de módulos primos
Corrección de error Reed – Solomon

Answer 16

1) Existe un número real [math] \ lambda [/ math] tal que para todos n = 1,2,3, … la función [math] f (n) = [\ lambda ^ {3 ^ n}] [ / math] es siempre un número primo (Teorema de Mills)
2) Existe un polinomio de grado 25, de manera que el conjunto de sus valores positivos en todos los puntos enteros es igual al conjunto de todos los números primos. (Esto fue probado por Yuri Matiyasevich). El polinomio en sí (y los enlaces a las pruebas) se presentan aquí http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0 … (lo siento, solo pude encontrar un enlace ruso). Este resultado se desprende de su teorema que afirma que cada conjunto recursivamente enumerable es también diofántico.

Answer 17

Un patrón que encontré recientemente,

• Tome cualquier número primo, ‘p’ decir 13.
• Encuentra 1 / p, es decir

1/13 = 0.07692307692

• Tome la unidad de repetición de la expansión,

076923

• Multiplícalo con los múltiplos del primo mismo, y ordena en una columna,

76923 x 13 = 0 99999 9
76923 x 26 = 1 99999 8
76923 x 39 = 2 99999 7
76923 x 52 = 3 99999 6
76923 x 65 = 4 99999 5
76923 x 78 = 5 99999 4
76923 x 91 = 6 99999 3
76923 x 104 = 7 99999 2
76923 x 117 = 8 99999 1
76923 x 130 = 9 99999 0

Obtienes un hermoso patrón.

Answer 18

El récord para el mayor número primo del mundo se ha vuelto a romper

Mientras la mayor parte del mundo disfrutaba de un descanso de Navidad-Año Nuevo, las computadoras en el Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) estaban trabajando arduamente, y el resultado fue el descubrimiento del mayor número primo conocido, 277,232,971-1, el Día del Boxeo . Puede que a las computadoras no les importe, pero para sus operadores, la Navidad llegó solo un día tarde.

Pedimos disculpas, pero no publicaremos el número completo, ya que tiene más de 23 millones de dígitos, y un archivo de texto comprimido de todos ellos es de 10 Megabytes. Aunque es poco menos de dos años desde el registro anterior, lo que antes era un evento bastante frecuente se ha vuelto más raro y, por lo tanto, vale la pena señalarlo. En los primeros ocho años del milenio, el récord de la prima mayor se rompió siete veces, pero en los últimos nueve años, solo se han agregado tres récords.

La última prima es tan grande que tardó seis días para que se produjera la verificación. Una vez que esto sucedió, GIMPS anunció en un registro de medios, lo que antes era un evento bastante frecuente se ha vuelto más raro y, por lo tanto, vale la pena señalarlo. En los primeros ocho años del milenio, el récord de la prima mayor se rompió siete veces, pero en los últimos nueve años, solo se han agregado tres récords.

La última prima es tan grande que tardó seis días para que se produjera la verificación. Una vez que esto sucedió, GIMPS anunció en un comunicado de prensa que, además de ser el más grande descubierto hasta el momento, el nuevo primo es el 50º de Mersenne conocido. Esto significa que toma la forma de 2P-1, donde P también es un número primo. Los primos familiares de Mersenne son 31 (25-1) y 127 (27-1). Los números primos de Mersenne establecen el aflutter de los corazones de los teóricos de números porque pueden usarse para generar “números perfectos”, aquellos cuyos factores suman su valor. Por ejemplo, aparte de sí mismo, los factores de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14, que en conjunto equivalen a 28.

Gracias.

Answer 19

Hola año 2017!

Todos sabemos que 2017 es un número primo, pero es más que solo otro número primo.

• 2017π (redondea al entero más cercano) es un número primo.
• 2017e (redondea al entero más cercano) es un número primo.
• La suma de todos los números primos impares hasta 2017 es un número primo, es decir, 3 + 5 + 7 + 11 +… + 2017 es un número primo.
• La suma del cubo de separación de números primos hasta 2017 es un número primo. Es decir (3-2) ^ 3 + (5-3) ^ 3 + (7-5) ^ 3 + (11-7) ^ 3 +… + (2017-2011) ^ 3 es un número primo.
• El número primo antes de 2017 es 2017+ (2-0-1-7), lo que lo convierte en un primo sexy, y el principal después de 2017 es 2017+ (2 + 0 + 1 + 7). 2017 en sí es, por supuesto, igual a 2017+ (2 0 1 * 7).
• Inserte 7 en cualquiera de los dos dígitos de 2017, sigue siendo un número primo, es decir, 27017, 20717, 20177 son números primos. Además, 20177 es también un número primo.
• Dado que todos los dígitos de 2017 son menores que 8, puede verse como un octal. 2017 sigue siendo un número primo como octal.
• 2017 se puede escribir como la suma de tres cubos de números primos, i, e, p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3 para algunos números primos p, q, r. 2017 se puede escribir como una suma de cubos de cinco enteros distintos.
• 2017 se puede escribir como x ^ 2 + y ^ 2, x ^ 2 + 2y ^ 2, x ^ 2 + 3y ^ 2, x ^ 2 + 4y ^ 2 x ^ 2 + 6y ^ 2, x ^ 2 + 7y ^ 2, x ^ 2 + 8y ^ 2, x ^ 2 + 9y ^ 2 (para enteros positivos x, y).
• 20170123456789 también es un primo.
• El número primo 2017 es 17539 y 201717539 también es un número primo. Sea p = 2017, entonces ambos (p + 1) / 2 y (p + 2) / 3 son números primos.
• Los primeros diez dígitos de la expansión decimal de la raíz cúbica de 2017 contienen todos los dígitos diferentes 0 ~ 9. 2017 es el menor entero que tiene esta propiedad.
• 2017 = 2 ^ 11 – 11th prime.

¿No está el 2017 tan relacionado con los números primos?

Answer 20

1. Teorema de Wilson : – El teorema de Wilson establece que un número natural n > 1 es un número primo si y solo si
.
2. Pequeño teorema de Fermat : – El pequeño teorema de Fermat establece que si p es un número primo, entonces para cualquier entero a , el número a p – a es un múltiplo entero de p .
En la notación de aritmética modular, esto se expresa como

3. Número de Carmichael: – El número de Carmichael es un número compuesto
que satisface la relación de congruencia aritmética modular:

El pequeño teorema de Fermat establece que si p es un número primo, entonces para cualquier entero b , el número b ^ p – b es un múltiplo entero de p . Los números de Carmichael son números compuestos que tienen la misma propiedad de congruencia aritmética modular. De hecho, los números de Carmichael también se llaman pseudoprimes de Fermat o pseudoprimes absolutos de Fermat. Los números de Carmichael son importantes porque pasan la prueba de primalidad de Fermat pero en realidad no son primos. Como los números de Carmichael existen, no se puede confiar en esta prueba de primalidad para probar la primalidad de un número, aunque aún se puede usar para probar que un número es compuesto.

4.Mersenne Prime : – Mersenne prime es un número primo de la forma

Si n es un número compuesto, entonces es 2 ^ n – 1.
Por lo tanto, la definición no se modifica cuando se escribe
donde p se asume prima.
Más en general, los números de la forma
Sin el requisito de primalidad se llaman números de Mersenne.

Los primos de Mersenne también son notables debido a su conexión con números perfectos. En el siglo IV aC, Euclides demostró que si 2 ^ p −1 es primo, entonces 2 ^ p −1 (2 ^ p – 1) es un número perfecto. Este número, también expresable como Mp ( Mp +1) / 2, es el número triangular de Mp th y el número hexagonal 2 ^ p – 1. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números, incluso perfectos, tienen esta forma. Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler. Se desconoce si hay algún número impar perfecto.

Prueba 5.Fool-Proof para primos : –
Si todos los coeficientes de (x-1) ^ p – (x ^ p-1) son divisibles por p, entonces p es primo.