¿Cuántas formas existen para dividir a m personas en pares, suponiendo que haya un número par de personas?

Answer 1

Sea [math] k [/ math] el número de pares, entonces [math] m = 2k [/ math].

Para generar un emparejamiento, primero podemos dar los números de personas [math] 1 [/ math] a [math] m [/ math] (esto se puede hacer de [math] m! [/ Math]), y luego emparejar número de persona [math] 1 [/ math] con número de persona [math] 2 [/ math], person [math] 3 [/ math] with person [math] 4 [/ math], y así sucesivamente.

El problema es que muchos emparejamientos se cuentan varias veces. En primer lugar, a la pareja no le importa realmente qué par es el par [math] (7,8) [/ math] y cuál es el par [math] (3,4 [/ math]). Eso significa que podemos reorganizar las identidades de los pares [math] k [/ math] de la forma que queramos. Además, en cualquier par en particular como [math] (7,8) [/ math], no importa quién es el [math] 7 [/ math] y quién es el [math] 8 [/ math], que da Nosotros otro factor de 2 por par.

Dicho todo esto, este procedimiento muestra que el número de emparejamientos es

[math] \ displaystyle N = \ frac {m!} {2 ^ kk!} [/ math].

Answer 2

Supongamos que tenemos n personas. La primera persona puede emparejarse con ( n – 1 ) personas, después del emparejamiento (n – 2) personas que quedaron, descansar (n – 2) las personas se emparejarán de la misma manera hasta que no quede nadie para emparejar.

Entonces podemos formar la ecuación recursiva

[math] F (n) = (n – 1) * F (n – 2), F (2) = 1, y n es par && n> = 4 [/ math]

Y si intentas expandirlo más, se verá como

[math] F (n) = (n – 1) * F (n – 2) [/ math]

[math] F (n – 2) = (n – 3) * F (n – 4) [/ math]

[math] F (n – 4) = (n – 5) * F (n – 6) [/ math]

.

.

.

[math] F (2) = (2 – 1) * F (0) = F (0) = 1 [/ math]

Así que combinando todos los términos, obtendremos

[math] F (n) = (n – 1) * (n – 3) * (n – 5) * (n – 7)… ..1 [/ math]

que es equivalente a lo que ha escrito Alon Amit.

Hay una solución combinatoria más, pero no es mejor que otras respuestas.

Answer 3

Tengo un enfoque ligeramente diferente al de Alon’s.

La primera persona que mire puede emparejarse con cualquiera de las personas restantes de [math] m-1 [/ math]. La siguiente persona que mire puede emparejarse con cualquiera de las personas restantes de [math] m-3 [/ math] después de eso, y así sucesivamente. Cuando hayas bajado a cuatro personas, la siguiente persona que mires puede combinarse con cualquiera de las tres restantes, y la siguiente persona a la que miras se ve obligada a emparejarse con la única otra persona que queda.

Entonces, el número total de formas de hacer esto es [math] (m-1) \ cdot (m-3) \ cdot (m-5) \ cdots 5 \ cdot 3 \ cdot 1 [/ math]. Usando la notación factorial doble, esto se puede escribir como [math] (m-1) !! [/ math]

Este resultado es consistente con este de Alon, ya que se sabe que si tenemos [math] n [/ math] impd y [math] n = 2k-1 [/ math] entonces [math] n !! = \ frac {(2k)!} {2 ^ kk!} [/ math]. [math] m [/ math] ya se suponía que era par, y si permitimos que [math] m = 2k [/ math] entonces está claro que [math] m-1 = 2k-1 [/ math] y por lo tanto [Matemáticas] (m-1) !! = \ frac {(2k)!} {2 ^ kk!} = \ frac {m!} {2 ^ kk!} [/ math].

Answer 4

En este caso, puede utilizar la combinación en lugar de la permutación para resolver esta pregunta. Enlace explicando más sobre combinación: Combinaciones y permutaciones.

Dado que un par está formado por dos personas y hay una cantidad de m, crearías la combinación de mC2. Esta combinación muestra todas las formas posibles de agrupar m número de personas en parejas.