Cómo calcular fácilmente [math] 2 ^ {2015} \ bmod 5 [/ math]

Answer 1

Ve así:

[math] 2 ^ 0 \ equiv 1 \ mod 5 [/ math];

[math] 2 ^ 1 \ equiv 2 \ mod 5 [/ math];

[math] 2 ^ 2 \ equiv 4 \ mod 5 [/ math];

[math] 2 ^ 3 \ equiv 3 \ mod 5 [/ math], ¿verdad?

[math] 2 ^ 4 \ equiv 1 1 mod 5 [/ math]

Ahora tienes un libro de códigos para potencias de 2 mod 5.

Paré con [math] 2 ^ 4 [/ math] porque es muy fácil trabajar con [math] (2 ^ 4) ^ N \ equiv. 1 ^ N [/ math]. Esa herramienta hará casi todo el trabajo por ti.

Luego, divide las expresiones en partes que aparecen en el libro de códigos. Especialmente busca piezas que sean equivalentes a 1 mod 5.

[math] 2 ^ {8} = (2 \ times 2 \ times 2 \ times 2) ^ 2 = (2 ^ 4) ^ 2 \ equiv 1 ^ 2 \ equiv 1 \ mod 5 [/ math]

[math] 2 ^ {20} = (2 \ times 2 \ times 2 \ times 2) ^ 5 = (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv 1 ^ 5 \ equiv 1 \ mod 5 [/ math]

[math] 2 ^ {80} = (2 ^ 4) ^ {20} \ equiv. 1 ^ {20} \ equiv 1 \ mod 5 [/ math]

[math] 2 ^ {800} = (2 ^ 4) ^ {200} \ equiv. 1 ^ {200} \ equiv 1 \ mod 5 [/ math]

[math] 2 ^ {2015} = 2 ^ {2000} 2 ^ {15} [/ math]

Puedes obtener la respuesta desde allí.

Answer 2

Podemos identificar un patrón aquí ..
2 ^ 1 = 2
2 ^ 2 = 4
2 ^ 3 = 8
2 ^ 4 = 1 6 ———– (1)

2 ^ 5 = 3 2
2 ^ 6 = 6 4
2 ^ 7 = 12 8
2 ^ 8 = 25 6 ———– (2)

2 ^ 9 = 51 2
2 ^ 10 = 102 4
2 ^ 11 = 204 8
2 ^ 12 = 409 6 ———– (3)

---

Verá lo que sucede … El último dígito se repite después de cada intervalo de 4.
Por lo tanto,
el mas alto múltiplo de 4 que es menor que 2015 será 2012…
Entonces, podemos decir que el último dígito de

2 ^ 2012 será 6 ———– (4)
la de 2 ^ 2013 será 2
la de 2 ^ 2014 será 4
la de 2 ^ 2015 será 8

Por lo tanto, 2 ^ 2015 mod 5 (que será equivalente a 8 mod 3) será 3.

Espero que esto ayude .. 🙂

Answer 3

2 ^ 2015 mod 5 = ((2 ^ 2) ^ 1007 * 2) mod 5 = ((4) ^ 1007 * 2) mod 5

ya que 4 mod 5 = -1 reemplaza cuatro por -1.

= ((- 1) ^ 1007 * 2) mod 5

= ((- 1) * 2) mod 5

= (- 2) mod 5

= 3 es la respuesta.

Answer 4

Es posible que desee revisar la regla de multiplicación en aritmética modular

Digamos que quieres descubrir (a * b)% M, ¿verdad?

Así se dividirá así.

((a% M) * (b% M))% M

Ahora, igual que la multiplicación, también se aplica al operador + y – pero no al operador /.

Ahora vamos a resolverlo

2 ^ 2015% 5

= ((2 * 2 * 2)% 5 * (2 ^ 2012)% 5)% 5

= (8% 5 * (16 ^ 503)% 5)% 5

Ahora 16 ^ 503 es en realidad una multiplicación como 16 * 16 * 16 y así sucesivamente para que pueda aplicar esa regla aquí también

= 3 * ((16% 5) ^ 503)% 5

= 3 * (1 ^ 503)% 5

= 3