¿Qué es una aplicación de chat que no almacena imágenes compartidas en sus servidores?

Telegram es lo que estás buscando. Está disponible para iOS, Android y Windows Phone también. Tienen esta característica llamada Secret Chats.

Para una mejor explicación lea el mecanismo exacto:

Cuando envía fotos, videos o archivos a través de chats secretos, antes de que se carguen, cada elemento se cifra con una clave separada, que el servidor no conoce. Esta clave y la ubicación del archivo se encriptan nuevamente, esta vez con la clave del chat secreto, y se envían a su destinatario. A continuación, puede descargar y descifrar el archivo. Esto significa que el archivo se encuentra técnicamente en uno de los servidores de Telegram, pero parece una basura aleatoria e indescifrable para todos, excepto para usted y el destinatario. Telegram no sabe qué significan estos datos aleatorios y no tienen idea de a qué chat en particular pertenece. Periódicamente limpian estos datos aleatorios de sus servidores para ahorrar espacio en disco.