¿Cuáles son algunos hechos fractales interesantes?

Answer 1

Fractal

Un fractal es una figura geométrica con dos propiedades especiales. Primero, es de apariencia irregular, fracturada, fragmentada o ligeramente conectada. Segundo, es auto-similar; es decir, la figura se ve muy parecida, no importa cuán lejos o qué tan cerca se vea.

El término fractal fue inventado por el matemático francés polaco Benoit Mandelbrot (1924–) en 1975. Tomó la palabra de la palabra latina fractus, que significa “roto”.

La idea detrás de los fractales es bastante simple y obvia cuando se explica. Pero las matemáticas utilizadas para desarrollar esas ideas no son tan simples.
Fractales naturales

La mayoría de los objetos en la naturaleza no tienen formas geométricas simples. Las nubes, los árboles y las montañas, por ejemplo, generalmente no se ven como círculos, triángulos o pirámides. En su lugar, pueden describirse mejor como fractales. Los objetos naturales que se pueden describir como fractales se denominan fractales naturales.

Uno de los objetos naturales más utilizados para explicar los fractales es el litoral. Una costa tiene las tres propiedades típicas de cualquier figura fractal. Primero, una costa es irregular, formada por bahías, puertos y penínsulas. Por definición, cualquier fractal debe ser de forma irregular.

En segundo lugar, la irregularidad es básicamente la misma en todos los niveles de ampliación. Ya sea vista desde una órbita sobre la Tierra, desde un helicóptero o desde tierra, ya sea vista a simple vista o con una lupa, cada litoral es similar a sí mismo. Si bien los patrones no son precisamente los mismos en cada nivel de ampliación, las características esenciales de una línea de costa se observan en cada nivel. Esta propiedad es la propiedad auto-similar que también es básica para todos los fractales.

En tercer lugar, la longitud de una línea de costa depende de la ampliación en la que se mide. La medición de la longitud de un litoral en una fotografía tomada desde el espacio solo dará una estimación de su longitud. Muchas bahías y penínsulas pequeñas no aparecerán, y las longitudes de sus perímetros se excluirán de la estimación. Se puede obtener una mejor estimación utilizando una fotografía tomada desde un helicóptero. Todavía faltan algunos detalles, pero se incluirán muchas de las funciones que faltan en la foto del espacio. Por lo tanto, la estimación será más larga y más cercana a lo que podría denominarse la longitud real de la línea de costa.

Esta estimación puede mejorarse aún más caminando por la costa usando un podómetro. De nuevo, resultará una medición más larga, quizás más cercana a la longitud real. Pero el resultado sigue siendo una estimación porque muchas partes de una línea costera están formadas por rocas y guijarros que son más pequeños que la longitud de un paso promedio. Se pueden hacer mejores estimaciones sucesivamente aumentando el nivel de aumento, y cada medida sucesiva encontrará la costa más larga. Eventualmente, el nivel de aumento debe alcanzar una resolución atómica o incluso nuclear para permitir la medición de las irregularidades en cada grano de arena, cada grupo de tierra y cada pequeña piedra, hasta que la longitud parezca infinita. Este resultado problemático sugiere que la longitud de cada línea de costa es la misma.

La resolución de este problema requiere que reconsideremos la forma en que se describe el espacio. El espacio unidimensional estándar (como un punto), el espacio bidimensional (como una línea) y el espacio tridimensional (como una esfera) no son adecuados para el análisis de fractales. En su lugar, se necesitan dimensiones no integrales (1½; 2⅓; etc.).
Construcciones

Los fractales a menudo se pueden dibujar mediante reglas bastante simples, como se muestra en la ilustración adjunta. Este dibujo muestra cómo el camino tomado por una partícula de polvo en el aire se puede modelar mediante el uso de fractales. Comenzamos en el paso A con una línea recta. Primero, el tercio central de la línea se elimina y se divide por la mitad, como se muestra en el Paso B. A continuación, el tercio central de cada uno de los tres segmentos de línea restantes se elimina y se divide por la mitad, como se muestra en el Paso C Este proceso se repite una y otra vez hasta que se forma una figura fractal que se parece al camino seguido por una partícula de polvo en el aire.

Aplicaciones

La similitud entre los fractales y los objetos naturales ha dado lugar a una serie de aplicaciones importantes

Que tengas un buen día.

Fuente (s): http: //www.encyclopedia.com/topic/fracta…

Answer 2

Uno de los fractales más famosos es el conjunto de Mandelbrot. Para crearlo, examine si la ecuación recursiva Z (n + 1) = Z (n) ^ 2 + C cuando Z (0) = 0 tiende a una magnitud infinita o permanece delimitada para cada punto C en el plano complejo. Los colores se eligen en función de cuántas iteraciones de esa ecuación se necesitan para que la magnitud del número complejo Z (n) exceda de 2. Los conjuntos de Julia también son muy famosos, se crean utilizando la misma ecuación, pero C es fijo y Z (0 ) es el punto que se examina en el plano complejo. Cada fractal tiene un comportamiento increíble.

Datos interesantes:

El conjunto de Julia para un valor fijo de C tiene similitudes con la región del conjunto de Mandelbrot alrededor del punto C. Dado que el conjunto de Mandelbrot tiene copias casi perfectas de sí mismo dentro de sí mismo, los conjuntos de Julia con valores de C alrededor de las áreas de esas copias se asemejarán los que tienen valores de C en la región correspondiente de la imagen principal de Mandelbrot; Esto esencialmente te permite anidar los fractales de Julia! A continuación se muestra un ejemplo.

Las imágenes fueron hechas con XaoS.

Otro fractal que tiene un tipo de anidación es la curva del dragón. La forma más sencilla de hacer la curva del dragón es la siguiente:

1. Dibuja una línea
2. Tome cada línea que haya dibujado y reemplácela con un ángulo recto que tenga la línea reemplazada como hipotenusa.
3. Repite el paso dos para siempre

Pero hay una trampa. Ese algoritmo no te dice en qué dirección dibujar el nuevo triángulo. Diferentes patrones crean imágenes diferentes. Al cambiar el patrón a mitad de camino, puedes hacer cosas interesantes como hacer una curva de dragón con triángulos o triángulos con curvas de dragón.