¿Puede esta simple y elegante ecuación convertirse en un avance matemático?

Answer 1

Bueno, es una de las preguntas interesantes que me desconcertaron cuando mi amigo me hizo esta pregunta y también a él, aunque conozco la respuesta, pero es un tipo de pregunta bastante paradójica.

En primer lugar podemos resolver esto por este método básico,

Método 1

[math] \ sqrt {x} + 1 = 0 [/ math]

[math] \ sqrt {x} = – 1 [/ math]

Ahora en cuadratura en ambos lados,

[math] x = 1 [/ math]

Lo que implica que x tiene infinitas soluciones reales de forma.

[math] x = 1 ^ {n} [/ math]

y muchas soluciones infinitamente complejas como

[math] x = i ^ {4n} [/ math]; donde ‘i’ significa [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] significa un número complejo

y por aquellos que no conocen esta propiedad que [math] i ^ {4} = 1 [/ math]

por lo que cualquier múltiplo de ‘4’ también daría el mismo resultado.

AHORA si resolvemos esto por otro método,

Método-2

[math] \ sqrt {x} + 1 = 0 [/ math]

[math] \ sqrt {x} = – 1 [/ math]

Entonces, por intuición, podemos pensar que, dado que es una raíz cuadrada, si tomamos ‘x’ de manera que su poder sea parejo (significa más o igual que 2 como ‘2’, ‘4’, ‘6’, y así on) entonces la raíz cuadrada se eliminaría, y recuerde que aquí ‘x’ es un término único para eliminar la raíz cuadrada.

Entonces, aquellos que están familiarizados con los números complejos sabrán por qué elijo ‘x’ como esto y los que no lo están, en primer lugar podemos ver por nuestra ecuación anterior que ‘x’ no puede ser una solución real aquí desde [math ] \ sqrt {-x} [/ math] no está definido y está definido solo para números complejos, y llegaría a eso más adelante, por eso obtuvimos soluciones reales por encima del Método-1.

Y antes de comenzar, simplemente le ofrezco otra información sobre la propiedad que voy a usar (para aquellos que no están familiarizados), y la propiedad es que [math] i ^ {2} = – 1 [/ math] (la Los símbolos tienen su significado habitual).

Así que por intuición yo y tú podemos pensar que,

[math] x = i ^ {4n} [/ math]

para eliminar la raíz cuadrada y al elegir esto como nuestra ‘x’, de ponerlo en la ecuación obtendremos

[math] \ sqrt {i ^ {4n}} = – 1 [/ math]

[math] \ sqrt {i ^ {2n (2)}} = – 1 [/ math]

[math] i ^ {2n} = – 1 [/ math]

y aquí ‘n’ pertenece a números naturales

Entonces, tenemos infinitas soluciones complejas de la ecuación ya que [math] x = i ^ {4n} [/ math] para todos ‘n’ pertenece al número natural

Pero ahora, si está poco familiarizado con el álgebra, puede cuestionar que ¿por qué no pusimos el valor de [math] i ^ {4n} = 1 [/ math] ya que para ‘n’ pertenece al número natural?

Y si pensara así, hagamos esto y obtengamos la misma respuesta, estaremos en lo cierto y estamos seguros de que esta propiedad es verdadera, por lo que nuestra respuesta también debe ser la misma que la anterior, es decir, infinitas soluciones complejas de la forma [ math] x = i ^ {4n} [/ math]

Así que veamos,

[math] \ sqrt {i ^ {4n}} = – 1 [/ math]

y si usamos la propiedad aquí solo en lugar de simplificarla y luego usamos otra propiedad, entonces obtendremos algo extraño, veamos eso,

[math] \ sqrt {1} = – 1 [/ math]

Pero esto es incorrecto, ya que podemos ver que [math] LHS \ neq RHS [/ math]

Así que es una contradicción o una paradoja, pero bastante divertida.

Bueno, ahora vamos a la parte de por qué obtuvimos soluciones de números reales mediante el Método 1, entonces debo decirles que sucedió simplemente porque nosotros mismos agregamos soluciones a las ecuaciones al convertir una ecuación lineal en una ecuación cuadrática. Así que esa es la razón de las soluciones adicionales. De lo contrario, para mí, deberíamos obtener soluciones complejas, pero no existe una solución para esta ecuación según “Wolfram Alpha” y muchas otras, pero tal vez es solo que “Matemáticas” nos dice que necesitamos un nuevo dominio para resolver tales preguntas. Tal vez haya llegado el momento de introducir un nuevo dominio en Matemáticas (pensamientos de mi amigo y de mí).

Espero eso ayude…!!! 🙂