¿Una prueba de existencia implica que existe una prueba constructiva de existencia?

Answer 1

Supongo que depende de lo que quiere decir con “constructivo” y “prueba” (los intuicionistas insisten en que una prueba no es una prueba si no es constructiva; por esta razón, rechazan la Ley del medio excluido), pero bajo la más razonable Interpretaciones, la respuesta es no.

Considere, por ejemplo, el Axioma de elección, que establece que, dada una colección de conjuntos, puede crear un nuevo conjunto seleccionando un elemento de cada conjunto de la colección. Esto parece razonable, y ciertamente es muy poderoso: el Axioma de elección le permite probar muchos resultados maravillosos, y tal vez esa sea la razón por la que los matemáticos lo mantienen cerca.

Sin embargo, es posible que note que Choice solo dice que puede construir un conjunto de este tipo, pero no dice qué podría ser. Es fundamentalmente no constructivo, y resulta que no hay forma de evitarlo.

Por ejemplo, puede usar el Axioma de elección para demostrar que puede descomponer una esfera en un número infinito de piezas que luego puede volver a ensamblar en dos esferas del mismo tamaño que la original (la famosa paradoja de Banach-Tarski). Sin embargo, se sabe que hay modelos alternativos de teoría de conjuntos (en los que el Axioma de elección es falso) donde no se puede realizar esta descomposición. De esto se deduce que posiblemente no puedas construir las piezas; si pudieras, entonces el teorema de Banach-Tarski también sería cierto en esos otros modelos de teoría de conjuntos.

Otro ejemplo: el teorema del valor intermedio no es válido en matemáticas constructivas. (Ver análisis constructivo).

Answer 2

Para aquellos que no saben, “una prueba constructiva es un método de prueba que demuestra la existencia de un objeto matemático al crear o proporcionar un método para crear el objeto”. Prueba constructiva.

Cuando se aplica a NUESTRA existencia, la prueba constructiva es el método de prueba que demuestra nuestra existencia. Sólo hay un tipo de prueba de este tipo. Está incrustado (oculto) en la siguiente declaración, que se encuentra en un libro de UNTRUTHS, pero aún tiene momentos de Verdad Real:

“Pide, y se te dará; busca, y hallarás; llama, y ​​se te abrirá:

“Porque todo el que pide, recibe; y el que busca, halla; y al que lo llame, se le abra”. (Mateo 7: 7-8,)

Finalmente, la prueba contractual de la verdad sobre nuestra existencia requiere que vivamos como se enseña en todas las religiones principales (aunque las religiones son falsas):

“Jesús le dijo: Amarás al Señor tu Dios con todo tu corazón, y con toda tu alma, y ​​con toda tu mente.

“Este es el primer y gran mandamiento.

“Y el segundo es semejante a éste: Amarás a tu prójimo como a ti mismo.

“De estos dos mandamientos cuelgan toda la ley y los profetas”. (Mateo 22: 37-40.)

Answer 3

Hay muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden demostrarse que existen por otro medio que no sea la construcción.

El número computable del usuario de Quora es un ejemplo, y la colección completa de ellos, presentada por K. Gödel en su artículo de 1938 ” La consistencia del axioma de elección y de la Hipótesis Continua Generalizada ” se puede encontrar aquí: Universo construible.

Es fácil mostrar que existe un número construible, al mostrar que el conjunto de números no construibles no está vacío, pero es imposible construir uno, porque de lo contrario sería construible.

Por lo tanto, con mis disculpas por este argumento similar a Russel, el conjunto de números construibles existe pero no es construible.

Answer 4

Si, por “algo”, se refiere a un objeto o sustancia de algún tipo, el mejor tipo de evidencia de su existencia es el acuerdo generalizado sobre sus propiedades por parte de un gran número de observadores independientes e imparciales que han tenido la oportunidad de estudiarlo detenidamente. . Ciertamente, es posible que las personas se equivoquen en estas circunstancias, pero en la práctica sucede muy raramente. Y ningún otro método se acerca a él en términos de éxito.