Si ‘inventamos’ un número [math] \ frac {1} {0} [/ math], ¿tendríamos que decidir que 0 * 1 no es igual a 0?

Answer 1

Si desea que la suma y la multiplicación sean asociativas y distributivas, desea que haya una identidad aditiva 0, y desea que la resta sea posible, entonces no tenemos una opción en cuanto a si [math] x \ cdot 0 = 0 [/ math] o no. De hecho, por la definición de 0, [math] 0 + 0 = 0 [/ math], y por lo tanto

[math] x \ cdot 0 = x \ cdot (0 + 0) = x \ cdot 0 + x \ cdot 0 [/ math],

así que restando [math] x \ cdot 0 [/ math] de ambos lados, hemos probado que

[math] x \ cdot 0 = 0 [/ math].

Una consecuencia de esto es que, con los supuestos anteriores, para cualquier elemento [math] x \ neq 0 [/ math], no puede existir un elemento [math] y [/ math] tal que [math] y \ cdot 0 = x [/ math], que es por supuesto el significado de escribir [math] \ frac {x} {0} [/ math].

Entonces, no puede tener un elemento [math] x / 0 [/ math] sin renunciar a algunas propiedades importantes de suma y multiplicación que damos por sentado.

Eso está bien: los matemáticos intentan este tipo de cosas todo el tiempo, pero no esperes nada de lo que estás acostumbrado a suponer para seguir teniendo en esta nueva estructura algebraica.

Answer 2

“Número” se refiere, en matemáticas, a un elemento de un campo, o al menos un anillo. Por definición, la división se multiplica con el inverso multiplicativo de un elemento. 0 es el elemento neutral de la adición y no tiene un inverso por definición de anillo y campo. Por lo tanto no puedes dividir por ello. Esta definición tiene sentido porque le da al constructo una gran cantidad de estructura útil. Si definirías tal número, tu construcción ya no es un campo o un anillo. Esto resulta en ser inútil para la teoría matemática. Espero que esto ayude a entender por qué ningún matemático intentó hacerlo. Definir un número infinitamente pequeño es una cosa diferente y puede funcionar.