1.
El primer teorema de incompletitud de Goedel tiene una cierta plausibilidad intuitiva. Si quisieras un conjunto completo de axiomas para la aritmética elemental, bueno, ¿por qué tendrías la esperanza de poder obtener uno?
Sin embargo, para mí, el segundo teorema de incompletitud de Goedel tenía una cierta cualidad extraña. Piense en una persona que cree que los axiomas de algún sistema [math] S [/ math] son verdaderos en algún sentido bien definido. ¿Creerán que los axiomas son consistentes o no? Parece casi seguro que lo harían (sí, también necesitan creer que las reglas de inferencia son sólidas). Y sin embargo, bajo las condiciones del teorema de incompletitud, la consistencia de [math] S [/ math] no es uno de los teoremas de [math] S [/ math]. Recuerdo que pasé un poco de tiempo dando vueltas por un rato para ver qué falla si intentas modificar el sistema para que incorpore un principio de la forma “si un conjunto de afirmaciones es cierto, entonces son coherentes”. Buen material.
2.
Siguiendo con eso, está el teorema de Löb – Wikipedia. Tal vez un “principio de reflexión” aún más básico que la consistencia (aunque más fuerte), es la idea de que un teorema demostrable en [math] S [/ math] es verdadero. Para una proposición específica [math] P [/ math], “si [math] P [/ math] es demostrable en [math] S [/ math] entonces [math] P [/ math]”. Parece un poco indignante. que (para los sistemas que satisfacen los requisitos de resistencia necesarios para el teorema de Goedel) la única vez que se puede demostrar tal principio, es cuando [math] P [/ math] es de hecho demostrable en [math] S [/ math]. Así, por ejemplo , si usamos la técnica de la prueba de Goedel para producir una declaración [math] P [/ math] equivalente a “[math] P [/ math] es demostrable en [math] S [/ math]”, entonces, sorpresa, [ math] P [/ math] es de hecho cierto. Incluso después de leer la prueba, todavía parece un conejo fuera de un sombrero.
3.
Existe un conjunto bien ordenado incontable ([math] \ aleph_1 [/ math] por ejemplo, el más pequeño). Esto ya es un poco difícil de visualizar, pero está bien. Ahora consideremos diferentes lenguajes de la teoría de conjuntos. En cada uno, habrá una gran cantidad de elementos de [math] \ aleph_1 [/ math] que pueden definirse. (Un elemento de [math] \ aleph_1 [/ math] es el mismo que un ordinal contable.) Por lo tanto, siempre hay uno más pequeño que no se puede definir en él.
Ahora cambia de nuevo de un sistema formal a nosotros. Podemos definir algunos elementos de este conjunto. Seguramente no podemos definirlos todos. Si digo “lo menos que no podemos definir”, no lo he definido, ¿verdad? ¿Pero entonces cómo podemos hablar del proceso mediante el cual definimos los elementos? ¿El lenguaje no juega según ninguna regla?
4.
No recuerdo haber tenido problemas con Banach-Tarski, y especialmente después de ver la prueba de ello, parecía muy plausible que las piezas que se estaban reorganizando simplemente no tuvieran volúmenes bien definidos. Hay otra linda consecuencia del axioma de elección, sin embargo, que parece un poco contradictorio. (¿O tal vez el axioma de elección no es tan intuitivo como parece?) La forma en que se describe a veces es pidiéndole que imagine una secuencia infinita de personas [math] P_0, P_1, P_2, … [/ math] cada uno de los cuales tiene en un sombrero blanco o un sombrero negro. Cada uno puede (implausiblemente) ver todos los sombreros de las personas después de ellos. Luego se les pide que adivinen el color del sombrero en su propia cabeza. Los colores de los sombreros de las personas que los siguen no tienen relación directa con el color de su propio sombrero, por supuesto, por lo que esto parece ser de ninguna ayuda.
Llame al conjunto de todas las posibles asignaciones de colores de hat [math] C [/ math]. El conjunto [math] C [/ math] puede considerarse el mismo que todas las funciones desde los números naturales [math] \ {0,1,2, … \} [/ math] al conjunto con dos elementos, [math ] \ {B, W \} [/ math]. Podemos definir una relación de equivalencia en [math] C [/ math] considerando que dos elementos [math] c_1 [/ math] y [math] c_2 [/ math] son equivalentes ([math] c_1 ~ c_2 [/ math] ) si solo discrepan en muchos lugares. De acuerdo con el axioma de elección, podemos elegir un subconjunto [math] S [/ math] de [math] C [/ math] que tiene la propiedad de que para cada elemento [math] c [/ math] de [math] C [/ math], existe exactamente un elemento [math] s [/ math] de [math] S [/ math] que está de acuerdo con eso, excepto por muchas posiciones. Por ejemplo, entre todas las asignaciones de colores que solo dan finamente muchas personas, los sombreros blancos contienen exactamente uno de los elementos de [math] S [/ math].
Ahora considera la siguiente estrategia. Cada persona mira los colores de los sombreros siguiendo los suyos. Esto no les dice el color completo, pero sí les dice en qué clase de equivalencia está el color. Hay solo un elemento [math] s [/ math] de [math] S [/ math] en esta misma clase de equivalencia . Luego adivinan que su propio sombrero es el color que le asigna [math] s [/ math]. (Es incluso más ridículo suponer que todos podrían aplicar esta estrategia; requiere que se comuniquen entre ellos el conjunto particular [math] S [/ math] y hagan infinitas tareas.) Pero en principio, ahora han garantizado que solo son muchos de ellos adivinarán mal. Todos adivinarán de acuerdo con la coloración [math] s, [/ math] y no están de acuerdo en muchos lugares con la coloración real [math] c [/ math].
Supongamos que asignamos los sombreros al azar (cada sombrero es independientemente negro o blanco con la misma probabilidad). ¿Cuál es la probabilidad de que la persona [math] P_n [/ math] haya adivinado correctamente? Jaja, pregunta trampa, no hay tal probabilidad. En todas las circunstancias razonables, asignar sombreros al azar le daría a cada persona la probabilidad de que [math] 1/2 [/ math] tenga razón, pero el conjunto de tareas en las que la persona [math] P_n [/ math] tiene la respuesta correcta es no medible
5.
En al menos una versión de análisis no estándar, hay un conjunto finito que contiene todos los conjuntos estándar. (Probablemente, uno se sienta con ganas de protestar, pero ese conjunto es solo “finito” desde el punto de vista del modelo. Desde el “exterior” tiene infinitos elementos, como los números naturales estándar [math] 0,1,2 , 3, … [/ math]. Esto es cierto en cierto sentido, pero el lenguaje del análisis no estándar aquí es el lenguaje “interior”, y la declaración se mantiene en él.)
Consulte el teorema 2.1.4 de (pdf) https://www10.cs.fau.de/publicat … por ejemplo.
[Agregado en edición:]
Alguien preguntó por el comentario que hice en la parte 4, la paradoja resultante del axioma de elección. Estaba pensando por alguna razón que la probabilidad de que cada persona sea correcta no estaría definida en este escenario, pero eso no es necesariamente cierto. La probabilidad de que la persona [math] n [/ math] haya adivinado correctamente podría ser [math] 1/2 [/ math] para un número finito de personas. Podríamos, por ejemplo, modificar nuestro conjunto de opciones para que cada elemento asigne sombreros negros a todas las primeras personas [matemáticas] N [/ matemáticas] sin que esto afecte a su conjunto de opciones. (Al cambiar los primeros colores [matemáticos] N [/ matemáticos], se cambia una asignación a uno que se encuentra en la misma clase de equivalencia bajo la relación de equivalencia). Luego, para cada una de las primeras personas [matemáticas] N [/ matemáticas], la probabilidad de que esa persona tiene razón (bajo una asignación aleatoria) está bien definida y es igual a [math] 1/2 [/ math]. Cuál de ellos adivina que es correcto es el mismo que el que tiene un sombrero negro. El conjunto de asignaciones en las que la persona [math] P_i [/ math] obtiene un sombrero negro es mensurable y tiene la medida [math] 1/2 [/ math].
Pero no puede haber infinitas personas que tengan una probabilidad bien definida de [math] 1/2 [/ math] de acertar, porque eso garantiza que con la probabilidad [math] 1 [/ math] hay infinitos muchos incorrectos adivina Estoy teniendo problemas para encontrar una buena prueba para esto. Es suficiente probar para cada [math] n [/ math] y [math] \ epsilon> 0 [/ math] que la probabilidad de que solo [math] n [/ math] de las conjeturas sea incorrecta es [math] <\ épsilon [/ math]., porque si un conjunto tiene la medida [math] <\ epsilon [/ math] para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math] tiene la medida 0, y si tomamos la unión sobre todos [ math] n [/ math] de un conjunto de medida 0, luego la unión (las asignaciones en las que solo muchas personas finamente adivinan mal) todavía tiene la medida cero. A su vez, esto sigue para cada [math] n [/ math] y [math] \ epsilon [/ math] si tenemos un número lo suficientemente grande [math] N [/ math] de personas que tienen un [math] 1/2 [/ math] probabilidad de estar en lo cierto, y las probabilidades son todas independientes entre sí.
Usando la estrategia que describí (que usa un conjunto de opciones), las elecciones de sombrero que hacen esas personas son una función de las asignaciones de color de sombrero a las personas que vienen después de todas ellas. Así que podemos cambiar quién acertó simplemente cambiando la asignación de colores a esas personas [math] N [/ math]. El conjunto de asignaciones [math] V [/ math] en el que todas son correctas se puede medir, porque es la intersección de conjuntos mensurables, uno para cada uno de ellos. Los conjuntos de asignaciones en los que los subconjuntos designados son correctos son imágenes de [math] V [/ math] bajo transformaciones (voltear los colores del sombrero para las personas que estamos haciendo tiene una suposición incorrecta). Esas son transformaciones que preservan la medida, por lo que todos los conjuntos [math] 2 ^ N [/ math] (incluido [math] V [/ math]) son todos medibles y tienen la misma medida, [math] 1/2 ^ N [ /mates]. Eso muestra que los eventos de su ser correcto son mutuamente independientes. La probabilidad de que la mayoría de los [math] n [/ math] sean incorrectos es tan pequeña como queramos, si [math] N [/ math] puede ser tan grande como nos plazca. Por lo tanto, son solo muchas de las personas para quienes la probabilidad de que adivinen correctamente fue un [math] 1/2 [/ math] bien definido. Para infinitas personas, el conjunto de asignaciones en las que tienen razón es un conjunto no medible.