¿Cuáles son algunos hechos simples sobre el logaritmo?

Answer 1

1. Cualquier función continua [math] f [/ math] con la propiedad [math] f (a) + f (b) = f (ab) [/ math] es un logaritmo para alguna base b.
2. Desde 1 sigue [math] f (1) = 0 [/ math]
3. La base se encuentra al encontrar el valor de [math] f [/ math] tal que [math] f (b) = 1. [/ Math]
4. [math] f (x ^ \ alpha) = \ alpha f (x) \ forall \ alpha \ in \ mathbb R. [/ math] Esto se puede probar aplicando la propiedad 1 a números naturales, números negativos, fracciones con numerador 1 , números racionales y mediante el uso de la continuidad a todos los reales.
5. [math] b ^ {\ log_b x} = x [/ math]
6. [math] \ log_b x = \ frac {\ log_c x} {\ log_c b} [/ math]
7. [math] \ int_1 ^ x \ frac {\ mathrm dt} t [/ math] es un logaritmo, llamado [math] \ ln x. [/ math] Demuestre esto por la propiedad 1.
8. [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ ln (1+ \ frac1n) ^ n = 1. [/ math] Demuestre esto por propiedad 7 y propiedad 4. Entonces [math] \ ln [/ math] tiene base [math] e. [/ math]